Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，延長DO交⊙O于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，作射線DE交BC的延長線于F點(diǎn)，連接PF．
（1）求證：△ADO≌△PEO；
（2）若∠OAD=30°，劣弧PC長為2π，求AC的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心,全等三角形的判定與性質(zhì),弧長的計(jì)算

專題：

分析：（1）直接利用AAS得出△POE≌△AOD即可得出答案；
（2）利用弧長公式進(jìn)而求出圓的半徑，即可得出AC的長．

解答：（1）證明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，
∠PEA=90°，∠ADO=90°
在△ADO和△PEO中，
∵

∠ADO=∠PEO ∠AOD=∠POE OA=OP

，
∴△POE≌△AOD（AAS）；

（2）解：∵∠OAD=30°，∠ADO=90°，
∴∠AOD=∠POE=60°，
∵劣弧PC長為2π，
∴

60π•OP

180

=2π，
∴OP=6，
∴AC的長度為：12．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及弧長公式等知識(shí)，得出∠POE=60°是解題關(guān)鍵．