Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半徑為1．現(xiàn)將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)與矩形的對(duì)稱中心O重合，繞著O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，使它的一條直角邊與⊙D切于點(diǎn)H，此時(shí)兩直角邊與AD交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則tan∠EFO的值為（　�。�

• A、1
• B、

  3

  4

• C、

  4

  3

• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：本題可以通過證明∠EFO=∠HDE，再求出∠HDE的正切值就是∠EFO的正切值．

解答：解：連接DH，作OG⊥CD于G，如圖，
∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，
∴BD=

22+42

=2

5

，
∵O是對(duì)稱中心，
∴OD=

1

2

BD=

5

，
∵OG⊥CD，
∴DG=

1

2

CD=1，OG=

1

2

BC=2，
∴OG為⊙O的切線，
∵OH是⊙D的切線，
∴DH⊥OH，OH=OG=2，
∵DH=1，
∴tan∠ADB=

AB

AD

=

1

2

，tan∠HOD=

DH

OH

=

1

2

，
∵∠ADB=∠HOD，
∴OE=ED，
設(shè)EH為x，則ED=OE=OH-EH=2-x，
∴1²+x²=（2-x）²，解得x=

3

4

，
即EH=

3

4

又∵∠FOE=∠DHO=90°，
∴FO∥DH，
∴∠EFO=∠HDE，
∴tan∠EFO=tan∠HDE=

DH

EH

=

3

4

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．關(guān)鍵是利用平行把已知角代換成其它相等的容易求出其正切值的角．