Question

如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=3，以D為圓心，CD為半徑作⊙D，直線BE切⊙D于點(diǎn)E，BE交AD于點(diǎn)G，則AG=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：先根據(jù)矩形的性質(zhì)得CD=AB=1，AD=BCV=3，再根據(jù)切線的性質(zhì)得DE⊥BE，DE=DC=1，則DE=AB，于是可證明△DEG≌△BAG，得到DG=BG，設(shè)AG=x，則DG=BG=3-x，然后在Rt△ABG中利用勾股定理得1²+x²=（3-x）²，再解方程求出x即可．

解答：解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=1，AD=BCV=3，
∵直線BE切⊙D于點(diǎn)E，
∴DE⊥BE，
∴∠DEG=90°，DE=DC=1，
∴DE=AB，
在△DEG和△BAG中，

∠DEG=∠A ∠DGE=∠BGA DE=BA

，
∴△DEG≌△BAG（AAS），
∴DG=BG，
設(shè)AG=x，則DG=AD-AG=3-x，BG=3-x，
在Rt△ABG中，∵AB²+AG²=BG²，
∴1²+x²=（3-x）²，解得x=

4

3

，
即AG=

4

3

．
故答案為

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)．