Question

已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=
120°，∠MBN=60°，∠MBN的兩邊分別交AD、CD于E、F．
（1）當AE=CF時，如圖1試猜想AE+CF與EF之間存在怎樣的數量關系？請給予證明．
（2）當AE≠CF，如圖2的情況下，上問的結論分別是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）作BQ⊥EF，易證△ABE≌△CBF和△BEF為等邊三角形，可得∠ABE=30°和EF=BF，即可解題；
（2）延長DA，使得AQ=CF，可證RT△BCF≌RT△BAQ，可得∠ABQ=∠CBF，CF=AQ，進而可以求證△BEF≌△BEQ得到QE=EF，即可解題．

解答：解：（1）作BQ⊥EF，

∵AE=CF，AB=BC，
∴根據勾股定理可得：BF=BE，
∵∠MBN=60°
∴△BEF為等邊三角形，
∴EF=BF=BE，
在RT△ABE和RT△CBF中，

AE=CF BF=BE

，
∴RT△ABE≌RT△CBF（HL），
∴∠ABE=∠CBF，
∵∠MBN=60°，∠ABC=120°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴BF=2CF，
∴AE+CF=EF；
（2）延長DA，使得AQ=CF，

∵AQ=CF，AB=AC，
∴根據勾股定理可得：BQ=BF，
在RT△BCF和RT△BAQ中，

BQ=BF BC=AB

，
∴RT△BCF≌RT△BAQ（HL），
∴∠ABQ=∠CBF，CF=AQ，
∴∠FBQ=∠ABC=120°，
∴∠QBE=60°，
在△BEF和△BEQ中，

BF=BQ ∠QBE=∠FBE BE=BE

，
∴△BEF≌△BEQ（SAS），
∴QE=EF，
∴EF=QE=AE+AQ=AE+CF．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等、對應角相等的性質，本題中，（1）中求證RT△ABE≌RT△CBF，（2）中求證△BEF≌△BEQ是解題的關鍵．