Question

已知AC與AB切⊙O于C、B兩點(diǎn)，過(guò)

BC

上一點(diǎn)D作⊙O切線交AC于E、交AB于F，若EF⊥AB，AE=5，EF=4，則AO=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：如圖，首先求出AF、AC的長(zhǎng)度；分別證明△EOC≌△EOG，△GOF≌△BOF，進(jìn)而得到：SOCEFB=2S△EOF=

1

2

EF•R×2=EF•R=4R（R為⊙O的半徑），S△AEF=

1

2

AF•EF=6，SOCAB=

1

2

AC•OC×2=AC•OC=6R，運(yùn)用上述面積之間的關(guān)系求出R，借助勾股定理問(wèn)題即可解決．

解答：解：如圖，
∵EF⊥AB，AE=5，EF=4，
∴AF²=5²-4²=9，
∴AF=3；
∵ABACEF分別是⊙O的切線，
∴AB=AC，EG=EC，F(xiàn)G=FB；
OC⊥EC，OG⊥GE，OB⊥FB；
∴AE+EF+AF=AC+AB=2AC=12，
∴AC=6；
在RT△EOC與RT△EOG中，

OC=OG OE=OE

，
∴RT△EOC≌RT△EOG（HL），
同理可證：△GOF≌△BOF，
∴SOCEFB=2S△EOF=

1

2

EF•R×2=EF•R=4R（R為⊙O的半徑），
∵S△AEF=

1

2

AF•EF=6，
SOCAB=

1

2

AC•OC×2=AC•OC=6R，
∴4R+6=6R，
∴R=3，
由勾股定理得：
AO²=6²+3²，
∴AO=3

5

，
股改答案為3

5

．

點(diǎn)評(píng)：該命題以圓為載體，以切線的性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理、勾股定理的應(yīng)用等幾何知識(shí)點(diǎn)為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、推理或證明．