Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD中，AB＝4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，連接BP，作點(diǎn)A關(guān)于直線BP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）若AD＝6，P僅在邊AD運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)P，E，C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)對(duì)應(yīng)的t的值．

（2）在動(dòng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求使點(diǎn)E到直線BC的距離等于3時(shí)對(duì)應(yīng)的t的值．

Answer 1

【答案】（1）t＝（6﹣2）s時(shí)，P、E、C共線；（2）或4．

【解析】

（1）設(shè)AP＝t，則PD＝6﹣t，由點(diǎn)A、E關(guān)于直線BP對(duì)稱(chēng)，得出∠APB＝∠BPE，由平行線的性質(zhì)得出∠APB＝∠PBC，得出∠BPC＝∠PBC，在Rt△CDP中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出結(jié)果；

（2）①當(dāng)點(diǎn)E在BC的上方，點(diǎn)E到BC的距離為3，作EM⊥BC于M，延長(zhǎng)ME交AD于N，連接PE、BE，則EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝4，四邊形ABMN是矩形，AN＝BM＝，證出△BME∽△ENP，得出，求出NP＝，即可得出結(jié)果；

②當(dāng)點(diǎn)E在BC的下方，點(diǎn)E到BC的距離為3，作EH⊥AB的延長(zhǎng)線于H，則BH＝3，BE＝AB＝4，AH＝AB+BH＝7，HE＝，證得△AHE∽△PAB，得出，即可得出結(jié)果．

解：（1）設(shè)AP＝t，則PD＝6﹣t，如圖1所示：

∵點(diǎn)A、E關(guān)于直線BP對(duì)稱(chēng)，

∴∠APB＝∠BPE，

∵AD∥BC，

∴∠APB＝∠PBC，

∵P、E、C共線，

∴∠BPC＝∠PBC，

∴CP＝BC＝AD＝6，

在Rt△CDP中，CD2+DP2＝PC2，

即：42+（6﹣t）2＝62，

解得：t＝6﹣或6+（不合題意舍去），

∴t＝（6﹣）s時(shí)，P、E、C共線；

（2）①當(dāng)點(diǎn)E在BC的上方，點(diǎn)E到BC的距離為3，作EM⊥BC于M，延長(zhǎng)ME交AD于N，連接PE、BE，如圖2所示：

則EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝4，四邊形ABMN是矩形，

在Rt△EBM中，AN＝BM＝，

∵點(diǎn)A、E關(guān)于直線BP對(duì)稱(chēng)，

∴∠PEB＝∠PAB＝90°，

∵∠ENP＝∠EMB＝∠PEB＝90°，

∴∠PEN＝∠EBM，

∴△BME∽△ENP，

∴，即，

∴NP＝，

∴t＝AP＝AN﹣NP＝；

②當(dāng)點(diǎn)E在BC的下方，點(diǎn)E到BC的距離為3，作EH⊥AB的延長(zhǎng)線于H，如圖3所示：

則BH＝3，BE＝AB＝4，AH＝AB+BH＝7，

在Rt△BHE中，HE＝，

∵∠PAB＝∠BHE＝90°，AE⊥BP，

∴∠APB+∠EAP＝∠HAE+∠EAP＝90°，

∴∠HAE＝∠APB，

∴△AHE∽△PAB，

∴，即，

解得：t＝AP＝，

綜上所述，t＝或．