【題目】如圖1,直線AD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣2x﹣2,與拋物線交于點(diǎn)A(在x軸上),點(diǎn)D.拋物線與x軸另一交點(diǎn)為B(3,0),拋物線與y軸交點(diǎn)C(0,﹣6).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2,連結(jié)CD,過點(diǎn)D作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)E,直線AD與y軸交點(diǎn)為F,若點(diǎn)P由點(diǎn)D出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿DE邊向點(diǎn)E移動(dòng),1秒后點(diǎn)Q也由點(diǎn)D出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度沿DC,CO,OE邊向點(diǎn)E移動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止移動(dòng),點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)PQ⊥DF時(shí),求t的值;(圖3為備用圖)
(3)如果點(diǎn)M是直線BC上的動(dòng)點(diǎn),是否存在一個(gè)點(diǎn)M,使△ABM中有一個(gè)角為45°?如果存在,直接寫出所有滿足條件的M點(diǎn)坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=2x2﹣4x﹣6(2)當(dāng)t=2時(shí),有PQ⊥DF(3)點(diǎn)M(7,8),(,),( , ),( , )
【解析】試題分析:(1)求出點(diǎn)A坐標(biāo),把A、B、C三點(diǎn)代入拋物線解析式解方程組即可.
(2)分三種情形討論①當(dāng)Q點(diǎn)在CD上時(shí)②點(diǎn)Q在CO上時(shí)③點(diǎn)Q在OE上時(shí),利用相似三角形的性質(zhì)路程方程求出t,并且判斷是否符合題意即可.
(3)分三種情況:①當(dāng)∠MAB=45°且M在x軸上方時(shí),則直線過A和P(0, 1),求出直線AP的解析式和直線AP與直線BC的交點(diǎn)即可;
②當(dāng)∠MAB=45°且M在x軸下方時(shí),則直線過A和Q(0,-1),類似可求M的坐標(biāo);
③若∠AMB=45°,過A作AP⊥BC于P,則△APM是等腰直角三角形,得到AP=PM.求出直線AP的解析式,然后求出直線AP和直線CB的交點(diǎn)P的坐標(biāo),由MP=AP,用兩點(diǎn)間的距離公式,列方程求解即可.
試題解析:解:(1)令y=0,則﹣2x﹣2=0,解得:x=﹣1,所以點(diǎn)A坐標(biāo)(﹣1,0),設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c.∵A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,﹣6)在拋物線上,∴,解得:,∴拋物線解析式為y=2x2﹣4x﹣6.
(2)y=2x﹣2,令x=0,y=﹣2,∴F(0,﹣2),由解得或,∴點(diǎn)D坐標(biāo)(2,﹣6).∵點(diǎn)C(0,﹣6),∴CD⊥CF,∴∠DCF=90°,由題意:P點(diǎn)移動(dòng)的路程為DP=t,Q點(diǎn)移動(dòng)的路程為3(t﹣1)=3t﹣3,當(dāng)Q點(diǎn)在CD上時(shí),即0<3t﹣3≤2時(shí),1<t≤時(shí),如圖1中,若PQ⊥DF,則有Rt△QDP∽Rt△FCD,
∴=,即=,∴t=3,3>,∴此時(shí)t不合題意.
當(dāng)點(diǎn)Q在CO上時(shí),2<3t﹣3≤8,<t≤時(shí),如圖2中,過點(diǎn)P作PK⊥OC于K,
∴CK=PD=t,CQ=3(t﹣1)﹣2=3t﹣5,若PQ⊥DF,則有Rt△PKQ∽Rt△FCD,∴,即=,∴t=2.∵<t≤,∴t=2符合題意.
當(dāng)點(diǎn)Q在OE上時(shí),即8≤3t﹣3≤10,≤t≤時(shí),如圖3中,
若PQ⊥DF,過點(diǎn)Q作QG∥DF交DE于G,則QG⊥QP,即∠GQP=90°,∴∠QPE>90°,這與△QPE內(nèi)角和為180°矛盾,此時(shí)PQ不與DF垂直.
綜上所述:當(dāng)t=2時(shí),有PQ⊥DF.
(3)分三種情況討論:
①當(dāng)∠MAB=45°且M在x軸上方時(shí).∵A(-1,0)在y軸上取點(diǎn)P(0,1)直線AP交在線CB于M,則∠MAB=45°,如圖4.易求直線AP為y=x+1,易求直線BC的解析式為:y=2x-6,解方程組:,解得:,∴M(7,8);
②當(dāng)∠MAB=45°且M在x軸下方時(shí).在y軸上取點(diǎn)Q(0,-1)直線AQ交在線CB于M′,則∠M′AB=45°,類似可求M(,);
③若∠AMB=45°,過A作AP⊥BC于P,則△APM是等腰直角三角形,∴AP=PM.如圖5.∵AP⊥CB,∴直線AP為,解方程組:,解得:,∴P(,),∴AP==.設(shè)M(a,2a-6),則MP=AP,∴=,整理得:25a2-110a+57=0,∴(5a-19)(5a-3)=0,解得:a=或a=,∴M(,)或M′(,).
綜上所述:存在一個(gè)點(diǎn)M,使△ABM中有一個(gè)角為45°,M的坐標(biāo)為:M(7,8)或(,)或(,)或(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D為AB邊上一點(diǎn),E為CD中點(diǎn),AC=,∠ABC=30°,∠A=∠BED=45°,則BD的長(zhǎng)為( )
A. B. +1﹣ C. ﹣ D. ﹣1
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于點(diǎn)E,AD⊥BC于點(diǎn)D,∠BAD=45°,AD與BE交于點(diǎn)F,連接CF.
(1)求證△ACD≌△BFD
(2)求證:BF=2AE;
(3)若CD=,求AD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了備戰(zhàn)初三物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)操作考試,某校對(duì)初三學(xué)生進(jìn)行了模擬訓(xùn)練,物理、化學(xué)各有4個(gè)不同的操作實(shí)驗(yàn)題目,物理用番號(hào)①、②、③、④代表,化學(xué)用字母a、b、c、d表示,測(cè)試時(shí)每名學(xué)生每科只操作一個(gè)實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)的題目由學(xué)生抽簽確定,第一次抽簽確定物理實(shí)驗(yàn)題目,第二次抽簽確定化學(xué)實(shí)驗(yàn)題目.
(1)請(qǐng)用樹形圖法或列表法,表示某個(gè)同學(xué)抽簽的各種可能情況.
(2)小張同學(xué)對(duì)物理的①、②和化學(xué)的b、c號(hào)實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備得較好,他同時(shí)抽到兩科都準(zhǔn)備的較好的實(shí)驗(yàn)題目的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A(2,0),B(6,0),CB⊥x軸于點(diǎn)B,連接AC
畫圖操作:
(1)在y正半軸上求作點(diǎn)P,使得∠APB=∠ACB(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡)
理解應(yīng)用:
(2)在(1)的條件下,
①若tan∠APB ,求點(diǎn)P的坐標(biāo)
②當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 時(shí),∠APB最大
拓展延伸:
(3)若在直線yx+4上存在點(diǎn)P,使得∠APB最大,求點(diǎn)P的坐標(biāo)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知A(a,m)、B(2a,n)是反比例函數(shù)y=(k>0)與一次函數(shù)y=-x+b圖象上的兩個(gè)不同的交點(diǎn),分別過A、B兩點(diǎn)作x軸的垂線,垂足分別為C、D,連結(jié)OA、OB,若已知1≤a≤2,則求S△OAB的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一段拋物線:y=﹣x(x﹣3)(0≤x≤3),記為C1,它與x軸交于點(diǎn)O,A1;將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得C2,交x軸于點(diǎn)A2;將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得C3,交x軸于點(diǎn)A3;…如此進(jìn)行下去,直至得C17.
(1)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)________
(2)若P(50,m)在第17段拋物線C17上,則m=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,采用分段計(jì)費(fèi)的方法按月計(jì)算每戶家庭的水費(fèi),月用水量不超過30立方米時(shí),按2元/立方米計(jì)費(fèi);月用水量超過30立方米時(shí),其中的30立方米仍按2元/立方米收費(fèi),超過部分按2.5元/立方米計(jì)費(fèi).設(shè)每戶家庭月用水量為x立方米.
(1)當(dāng)x不超過30時(shí),應(yīng)收多少水費(fèi)(用x的代數(shù)式表示);當(dāng)x超過30時(shí),應(yīng)收多少水費(fèi)(用x的代數(shù)式表示);
(2)小明家四月份用水20立方米,五月份用水36立方米,請(qǐng)幫小明計(jì)算一下他家這兩個(gè)月一共應(yīng)交多少元水費(fèi)?
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