Question

如圖，△ABC中，AB=5，BC=11，cosB=

3

5

，點P是BC邊上的一個動點，聯(lián)結(jié)AP，取AP的中點M，將線段MP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PN，聯(lián)結(jié)AN，NC．
（1）當(dāng)點N恰好落在BC邊上時，求NC的長；
（2）若點N在△ABC內(nèi)部（不含邊界），設(shè)BP=x，CN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)的定義域；
（3）若△PNC是等腰三角形，求BP的長．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理可以求得答案．
（2）過A、N作BC的垂線，垂足分別為H、G，證得△APH∽△PGN，得到對應(yīng)邊的比例式，構(gòu)造方程求解即可．
（3）分三種情況討論：第一種情況：當(dāng)PN=NC時，PG=CG，即：9-x=2，解得：x=7，；第二種情況：PN=PC時，PN=

1

2

AP=

1

2

(X-3)2+16

，PC=11-X，（x-3）²+16=4（11-x）²，整理得：3x²-82x+459=0，解得：x1=

41+4 19

3

(舍去)，x2=

41-4 19

3

；第三種情況：當(dāng)NC=PC時：NC=

( x-3 2 )2+(9-x)2

=

5x2-78x+333

2

，PC=11-x，所以=

5x2-78x+333

2

=11-x，即：x²+10x-151=0，解方程得，x1=-5-4

11

(舍去)x2=-5+4

11

．

解答：解：（1）∵∠APN=90°，
∴AP⊥BN，
∴cosB=

BP

AB

=

3

5

，
∵AB=5，
∴BP=3，AP=

AB2-BP2

=4，
∵PN=MP=

1

2

AP，
∴PN=2，
∴NC=11-3-2=6；

（2）過A、N作BC的垂線，垂足分別為H、G，
∵AB=5，cosB=

3

5

，
∴BH=3，
∵BP=x，
∴HP=x-3，AH=4，
∴△APH∽△PGN，
∴

AP

PN

=

AH

PG

=

PH

NG

=2，
∴PG=2，NG=

x-3

2

，CG=11-x-2=9-x，
在Rt△NCG中，y=

( x-3 2 )2+(9-x)2

=

5x2-78x+333

2

，取值范圍為：3＜x＜6．

（3）第一種情況：當(dāng)PN=NC時，PG=CG，即：9-x=2，解得：x=7，；

第二種情況：PN=PC時，PN=

1

2

AP=

1

2

(x-3)2+16

，PC=11-x，
（x-3）²+16=4（11-x）²，
整理得：3x²-82x+459=0，
解得：x1=

41+4 19

3

(舍去)，x2=

41-4 19

3

第三種情況：
當(dāng)NC=PC時：NC=

( x-3 2 )2+(9-x)2

=

5x2-78x+333

2

，PC=11-x，
所以=

5x2-78x+333

2

=11-x，
即：x²+10x-151=0，
解方程得，x1=-5-4

11

(舍去)x2=-5+4

11

．

綜上所述：BP=7或

41-4 19

3

或--5+4

11

時，△PNC為等腰三角形．

點評：本題考查了線段長度的求法，以及在幾何問題中用方程思想求線段長度的轉(zhuǎn)化方法，同時注意分類討論的思想的應(yīng)用．