Question

如圖，S_{四邊形ABCD}=20cm²，E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，HF=5cm，EO⊥HF于點(diǎn)O，則EO=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專題：

分析：根據(jù)三角形中位線定理可以推知四邊形EFGH是平行四邊形、四邊形EFGH的面積為10cm²，然后利用平行四邊形的性質(zhì)得到△EFH的面積為5cm²，根據(jù)三角形的面積公式來求EO的長(zhǎng)度．

解答：解：連接BD，
在△ABD中，∵E、H是AB、AD中點(diǎn)，
∴EH∥BD，EH=

1

2

BD；
在△BCD中，∵G、F是DC、BC中點(diǎn)，
∴GF∥BD，GF=

1

2

BD，
∴EH=GF，EH∥GF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形．
∴S_△EHF=

1

2

S_{四邊形EFGH}．
易證△AHE∽△ADB，相似比為

1

2

，面積比為

1

4

．
∴S_△ADB=4S_△AHE
同理可得，S_△ADC=4S_△HDG，S_△BCD=4S_△GCF，S_△ACB=4S_△EFB
∴S_△ADB+S_△ADC+S_△BCD+S_△ACB=2S_{四邊形ABCD}=4S_△AHE+4S_△HDG+4S_△GCF+4S_△EFB
∴S_△AHE+S_△HDG+S_△GCF+S_△EFB=

1

2

S_{四邊形ABCD}
∴S_{四邊形EFGH}=S_{四邊形ABCD}-（S_△AHE+S_△HDG+S_△GCF+S_△EFB）=

1

2

S_{四邊形ABCD}=

1

2

×20=10（cm²）
∴S_△EHF=

1

2

S_{四邊形EFGH}=5cm²，即

1

2

HF•EO=5，則

1

2

×5×EO=5，
解得 EO=2．
故答案是：2cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．需注意新四邊形的形狀只與對(duì)角線有關(guān)，不用考慮原四邊形的形狀．