Question

如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)C、A分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），雙曲線y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過AB的中點(diǎn)D，且與BC交于點(diǎn)E，連接DE．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）求tan∠BDE的值；
（3）若坐標(biāo)軸上存在一點(diǎn)F，使△OFA∽△BDE成立，試求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,矩形的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題

分析：（1）可先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后把它代入y=

k

x

，就可求出雙曲線的解析式；
（2）可先求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后在Rt△BDE中運(yùn)用三角函數(shù)的定義，即可求出tan∠BDE的值；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出OF的值，就可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)D是矩形OABC的邊AB的中點(diǎn)，B（4，3），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3）．
∵點(diǎn)D（2，3）在雙曲線y=

k

x

（x＞0）上，
∴k=2×3=6，
∴雙曲線的解析式為y=

6

x

；

（2）∵點(diǎn)E在雙曲線y=

6

x

上，且x_E=4，
∴y_E=

3

2

，即CE=

3

2

．
在Rt△BDE中，
∵BE=BC-CE=

3

2

，BD=AB-AD=2，
∴tan∠BDE=

BE

BD

=

3

4

；

（3）若△OFA∽△BDE，則

OF

BD

=

OA

BE

，
∴

OF

2

=

3

3 2

，即OF=4，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0）或（-4，0）．

點(diǎn)評：本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義等知識，有一定的綜合性，需要注意的是第（3）小題根據(jù)OF的長求點(diǎn)F的坐標(biāo)有兩種可能．