【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(0,2)。
(1)若點(diǎn)(-,0)也在該拋物線上,求a,b滿足的關(guān)系式;
(2)若點(diǎn)A為拋物線頂點(diǎn),且拋物線過點(diǎn)(1,1)。
①求拋物線的解析式;
②若點(diǎn)M是拋物線上異于點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對稱,直線MP交拋物線與另一個(gè)點(diǎn)N,點(diǎn)N’是拋物線上點(diǎn)N關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn),直線PN’與拋物線交于點(diǎn)E,求證:直線EN恒過點(diǎn)O。
【答案】(1)3a-b=-2;(2)①y=-+2,②見解析
【解析】
(1)由拋物線經(jīng)過點(diǎn)A可求出c=2,再代入(-,0)即可找出3a-b=-2(a≠0);
(2)由A點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn),可設(shè)y=ax2+2,把(1,1)代入求出a的值即可;
(3)設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,m2+2)求出直線PM的解析式,與拋物線方程聯(lián)立,求出N點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)M點(diǎn)與E點(diǎn)關(guān)于y軸對稱求出E點(diǎn)坐標(biāo),從而求出直線EN的解析式,判斷當(dāng)x=0時(shí),y=0即可.
(1)∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(0,2),
∴c=2.
又∵點(diǎn)(-,0)也在該拋物線上,
∴a(-)2+b(-)+c=0,
∴3a-b+2=0(a≠0).
即3a-b=-2;
(2)∵點(diǎn)A(0,2)是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),
∴設(shè),
∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(1,1)
∴1=a+2,解得,a=-1,
∴拋物線的解析式為:
(3)設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,-m2+2)(m<0),
設(shè)直線PM的解析式為:
∵點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對稱,A(0,2),
∴P(0,4),
∴,
解得,,
∴直線PM的解析式為:,
聯(lián)立方程組得,
解得,,,
∴N(,).
∵M點(diǎn)與E點(diǎn)關(guān)于y軸對稱,
∴E(-m,-m2+2)
設(shè)直線NE的解析式為:,
將N點(diǎn)、E點(diǎn)坐標(biāo)代入得,,解得,
∴直線EN的解析式為:
∴當(dāng)x=0時(shí),y=0,
∴直線EN恒過點(diǎn)O.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形ABCD中,AB=6,點(diǎn)P是射線BC上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥PA交直線CD于E,連AE.
(1)如圖1,若BP=2,求DE的長;
(2)如圖2,若AP平分∠BAE,連PD,求tan∠DPE的值;
(3)直線PD,AE交于點(diǎn)F,若BC=4PC,則= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,.
(1)如圖①,點(diǎn)在斜邊上,以點(diǎn)為圓心,長為半徑的圓交于點(diǎn),交于點(diǎn),與邊相切于點(diǎn).求證:;
(2)在圖②中作,使它滿足以下條件:
①圓心在邊上;②經(jīng)過點(diǎn);③與邊相切.
(尺規(guī)作圖,只保留作圖痕跡,不要求寫出作法)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,過原點(diǎn)O及點(diǎn)A(8,0),C(0,6)作矩形OABC、連結(jié)OB,點(diǎn)D為OB的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)DE,作DF⊥DE,交OA于點(diǎn)F,連結(jié)EF.已知點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度在線段AB上移動(dòng),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)如圖1,當(dāng)t=3時(shí),求DF的長.
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)的過程中,∠DEF的大小是否發(fā)生變化?如果變化,請說明理由;如果不變,請求出tan∠DEF的值.
(3)連結(jié)AD,當(dāng)AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1:2時(shí),求相應(yīng)的t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O中,AB為直徑,AC=5,AB=10,
(1)作以AC為底邊的圓內(nèi)接等腰△ACD;(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)求弦AC所對的圓周角。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在同一平面內(nèi),將兩個(gè)全等的等腰直角三角形和擺放在一起,為公共頂點(diǎn),,若固定不動(dòng),繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),、與邊的交點(diǎn)分別為、(點(diǎn)不與點(diǎn)重合,點(diǎn)不與點(diǎn)重合).
(1)求證:;
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,試判斷等式是否始終成立,若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)(,,為常數(shù),且)中的與的部分對應(yīng)值如下表:
以下結(jié)論:
①二次函數(shù)有最小值為;
②當(dāng)時(shí),隨的增大而增大;
③二次函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn);
④當(dāng)時(shí),.
其中正確的結(jié)論有( )個(gè)
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有四張反面完全相同的紙牌,其正面分別畫有四個(gè)不同的幾何圖形,將四張紙牌洗勻正面朝下隨機(jī)放在桌面上.
(1)從四張紙牌中隨機(jī)摸出一張,摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率是 .
(2)小明和小亮約定做一個(gè)游戲,其規(guī)則為:先由小明隨機(jī)摸出一張,不放回.再由小亮從剩下的紙牌中隨機(jī)摸出一張,若摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,則小亮獲勝,否則小明獲勝.這個(gè)游戲公平嗎?請用列表法(或畫樹狀圖)說明理由.(紙牌用表示)若不公平,請你幫忙修改一下游戲規(guī)則,使游戲公平.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】第 24 屆冬奧會(huì)將于 2022 年在北京和張家口舉行,冬奧會(huì)的項(xiàng)目有滑雪(如跳臺(tái)滑雪、高山滑雪、單板滑雪等)、滑冰(如短道速滑、速度滑冰、花樣滑冰等)、冰球、冰壺等.如圖,有 5 張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片,正面分別印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、單板滑雪、冰壺五種不同的圖案,背面完全相同.現(xiàn)將這 5 張卡片洗勻后正面向下放在桌子上,從中隨機(jī)抽取一張,抽出的卡片正面恰好是滑雪項(xiàng)目圖案的概率是( )
A. B. C. D.
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