【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,如果某點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的和為10,則稱此點(diǎn)為“合適點(diǎn)”例如,點(diǎn)(1,9),(﹣2019,2029)…都是“合適點(diǎn)”.
(1)求函數(shù)y=2x+1的圖象上的“合適點(diǎn)”的坐標(biāo);
(2)求二次函數(shù)y=x2﹣5x﹣2的圖象上的兩個(gè)“合適點(diǎn)”A,B之間線段的長(zhǎng);
(3)若二次函數(shù)y=ax2+4x+c的圖象上有且只有一個(gè)合適點(diǎn)”,其坐標(biāo)為(4,6),求二次函數(shù)y=ax2+4x+c的表達(dá)式;
(4)我們將拋物線y=2(x﹣n)2﹣3在x軸下方的圖象記為G1,在x軸及x軸上方圖象記為G2,現(xiàn)將G1沿x軸向上翻折得到G3,圖象G2和圖象G3兩部分組成的記為G,當(dāng)圖象G上恰有兩個(gè)“合適點(diǎn)”時(shí),直接寫出n的取值范圍.
【答案】(1)(3,7);(2)8;(3)y=﹣x2+4x;(4)n<或10﹣<n<10+
【解析】
(1)根據(jù)“合適點(diǎn)”的定義,聯(lián)立x+y=10和y=2x+1即可求解;
(2)根據(jù)“合適點(diǎn)”的定義,聯(lián)立x+y=10和y=x2﹣5x﹣2即可求解;
(3)將點(diǎn)(4,6)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:16a+16+c=6…①,聯(lián)立y=10﹣x和y=ax2+4x+c并整理得:2x2+5x+(c﹣10)=0,△=25﹣4a(c﹣10)=0…②,聯(lián)立①②即可求解;
(4)當(dāng)直線m于圖象G3只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),直線m與圖象G有3個(gè)“合適點(diǎn)”;當(dāng)直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B時(shí),直線m與圖象G有3個(gè)“合適點(diǎn)”,即可求解.
解:(1)聯(lián)立
解得:
故“合適點(diǎn)”的坐標(biāo)為(3,7);
(2)聯(lián)立
解得:或
故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為:(﹣2,12)、(6,4),
則AB==8;
(3)將點(diǎn)(4,6)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:
16a+16+c=6…①,
聯(lián)立y=10﹣x和y=ax2+4x+c并整理得:
ax2+5x+(c﹣10)=0,
由題意可知:△=25﹣4a(c﹣10)=0…②,
聯(lián)立①②并解得:a=﹣,c=0,
故拋物線的表達(dá)式為:y=﹣x2+4x;
(4)圖象G,如下圖所示:
∵G1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(n,-3),G1的函數(shù)表達(dá)式為:y=2(x﹣n)2-3,
∴G3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(n,3),則G3的函數(shù)表達(dá)式為:y=﹣2(x﹣n)2+3,
x+y=10,則y=10﹣x,
設(shè)直線m為:y=10﹣x,
①當(dāng)直線m與圖象G3只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),由圖可知:直線m與G2有兩個(gè)交點(diǎn)
直線m與圖象G有3個(gè)交點(diǎn),即有3個(gè)“合適點(diǎn)”,
聯(lián)立直線m與G3的表達(dá)式得:y=﹣2(x﹣n)2+3=10﹣x,整理得:
2x2﹣(4n+1)x+(2n2+7)=0,
△=b2﹣4ac=8n﹣55=0,解得:n=,
故當(dāng)n<時(shí),圖象G恰好有2個(gè)“合適點(diǎn)”;
②當(dāng)直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B時(shí),
直線m與圖象G有3個(gè)交點(diǎn),即有3個(gè)“合適點(diǎn)”,則在這兩個(gè)點(diǎn)之間有2個(gè)“合適點(diǎn)”,
直線m與x軸的交點(diǎn)為(10,0),
將(10,0)代入y=2(x﹣n)2﹣3并解得:n=10,
故10﹣<n<10+;
綜上,n的取值范圍為:n<或10﹣<n<10+.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)古代三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽,創(chuàng)作了一幅“勾股弦方圖”,通過(guò)數(shù)形結(jié)合,給出了勾股定理的詳細(xì)證明如圖,在“勾股弦方圖”中,以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形ABCD是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成,這一圖形被稱作“趙爽弦圖”張?zhí)焱瑢W(xué)要用細(xì)塑料棒制作“趙爽弦圖”,若正方形ABCD與正方形EFCH的面積分別為169和49,則所用細(xì)塑料棒的長(zhǎng)度為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣4,0),點(diǎn)P在AB上,連結(jié)CP與y軸交于點(diǎn)D,連結(jié)BD.過(guò)P,D,B三點(diǎn)作⊙Q與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E,延長(zhǎng)DQ交⊙Q于點(diǎn)F,連結(jié)EF,BF.
(1)求直線AB的函數(shù)解析式;
(2)求證:∠BDE=∠ADP;
(3)設(shè)DE=x,DF=y.請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別用a、b、c表示.
(1)如圖,在△ABC中,∠A=2∠B,且∠A=60度.求證:a2=b(b+c).
(2)如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍,我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”.第一問(wèn)中的三角形是一個(gè)特殊的倍角三角形,那么對(duì)于任意的倍角三角形ABC,其中∠A=2∠B,關(guān)系式a2=b(b+c)是否仍然成立?并證明你的結(jié)論.
(3)試求出一個(gè)倍角三角形的三條邊的長(zhǎng),使這三條邊長(zhǎng)恰為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題:如果α,β都為銳角,且tanα=,tanβ=,求α+β的度數(shù).
解決:如圖①,把α,β放在正方形網(wǎng)格中,使得∠ABD=α,∠CBE=β,連結(jié)AC,易證△ABC是等腰直角三角形,因此可求得α+β=∠ABC= .
拓展:參考以上方法,解決下列問(wèn)題:如果α,β都為銳角,當(dāng)tanα=4,tanβ=時(shí),
(1)在圖②的正方形網(wǎng)格中,利用已作出的銳角α,畫出∠MON=α﹣β;
(2)求出α﹣β= °.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】超市有一種“喜之郎“果凍禮盒,內(nèi)裝兩個(gè)上下倒置的果凍,果凍高為4cm,底面是個(gè)直徑為6cm的圓,軸截面可以近似地看作一個(gè)拋物線,為了節(jié)省成本,包裝應(yīng)盡可能的小,這個(gè)包裝盒的長(zhǎng)不計(jì)重合部分,兩個(gè)果凍之間沒(méi)有擠壓至少為
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB為⊙O的直徑,PA與⊙O相切于A點(diǎn),點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn),且PC=PA.
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)若∠BAC=45°,AB=4,求PC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是OA的中點(diǎn),連接BE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F,已知S△AEF=4,則下列結(jié)論:①;②S△BCE=36;③S△ABE=12;④△AEF~△ACD,其中一定正確的是( 。
A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③
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