Question

【觀察發(fā)現(xiàn)】
如圖1，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，且點(diǎn)E在邊AB上，連接DE和BG，猜想線段DE與BG的數(shù)量關(guān)系，以及直線DE與直線BG的位置關(guān)系．（只要求寫出結(jié)論，不必說出理由）
【深入探究】
如圖2，將圖1中正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，其他條件與觀察發(fā)現(xiàn)中的條件相同，觀察發(fā)現(xiàn)中的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)根據(jù)圖2加以說明．
【拓展應(yīng)用】
如圖3，直線l上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B，直線l外有一點(diǎn)O，連接OA，OB，OA，OB長(zhǎng)分別為2

2

、4，以線段AB為邊在l的另一側(cè)作正方形ABCD，連接OD．隨著動(dòng)點(diǎn)A、B的移動(dòng)，線段OD的長(zhǎng)也會(huì)發(fā)生變化，在變化過程中，線段OD的長(zhǎng)是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，顯然三角形BCG順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可得到三角形DCE，從而判斷兩條直線之間的關(guān)系；
（2）結(jié)合正方形的性質(zhì)，根據(jù)SAS仍然能夠判定△BCG≌△DCE，從而證明結(jié)論；
（3）以O(shè)A為邊做正方形OAGF，連接OG、BG，則OC=

2

OA=4，當(dāng)G、O、B三點(diǎn)共線時(shí)，BG最長(zhǎng)，此時(shí)BC=OC+OB=4+4=8，從而確定正確的答案．

解答：解：【觀察發(fā)現(xiàn)】：DE=BG，DE⊥BG；

【深入探究】：【觀察發(fā)現(xiàn)】中的結(jié)論任然成立，即DE=BG，DE⊥BG；
理由：∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是正方形，
∴BA=AD，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAG=∠DAE（1分），
∵在△BAG與△DAE中，

CB=CD ∠BAG=∠DAE AG=AE

，
∴△BAG≌△DAE（SAS），
∴BG=DE，∠ABG=∠ADE，
設(shè)線段DE分別與BG、AB相交于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，
由∠BAD=90°得∠ADE+∠AQD=90°，
∴∠ABG+∠PQB=90°，
∴∠BPQ=90°，
即DE⊥BG；

【拓展應(yīng)用】以O(shè)A為邊做正方形OAGF，連接OG、BG，則OG=

2

OA=4，
由【深入探究】可得OD=BG，
當(dāng)G、O、B三點(diǎn)共線時(shí)，BG最長(zhǎng)，此時(shí)BC=OG+OB=4+4=8，
即線段OD長(zhǎng)的最大值為8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合知識(shí)，解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，利用勾股定理求解，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．