Question

如圖，線段MN是△ABC的中位線，CD、CE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ACB和外角∠ACF，CD、CE分別交直線MN于點(diǎn)D、E．
（1）判斷四邊形ADCE的形狀，并說明理由；
（2）當(dāng)四邊形ADCE是正方形時(shí)，△ABC應(yīng)滿足什么條件？為什么？
（3）在（2）的條件下，已知AC=BC=10，求正方形ADCE的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的判定,三角形中位線定理,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先由平行線的性質(zhì)及角平分線的定義得出∠NDC=∠NCD，根據(jù)等角對(duì)等邊得到NC=ND，同理得出NC=NE，則ND=DE，結(jié)合AN=NC，得到四邊形ADCE是平行四邊形，再證明∠DCE=90°，那么平行四邊形ADCE是矩形；
（2）當(dāng)四邊形ADCE是正方形時(shí)，△ABC是直角三角形．可以由正方形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得出∠BCA=90°，即△ABC是直角三角形；
（3）先證明△ABC是等腰直角三角形，得出D與M重合，ME=AC=10，再根據(jù)正方形ADCE的面積=

1

2

AC²即可求解．

解答：解：（1）四邊形ADCE是矩形，理由如下：
∵線段MN是△ABC的中位線，
∴MN∥BC，AN=NC，
∴∠NDC=∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠NCD，
∴∠NDC=∠NCD，
∴NC=ND，
同理，NC=NE，
∴ND=DE，
∵AN=NC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形．
∵CD、CE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ACB和外角∠ACF，
∴∠NCD=

1

2

∠ACB，∠NCE=

1

2

∠ACF，
∴∠NCD+∠NCE=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ACF=

1

2

（∠ACB+∠ACF）=

1

2

×180°=90°，
即∠DCE=90°，
∴平行四邊形ADCE是矩形；

（2）當(dāng)四邊形ADCE是正方形時(shí)，△ABC是直角三角形．理由如下：
∵四邊形ADCE是正方形，
∴AC⊥DE，故∠AND=90°，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠BCA=∠AND，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（3）∵∠ACB=90°，AC=BC=10，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴D與M重合，ME=AC=10，
∴正方形ADCE的面積=

1

2

AC²=

1

2

×10²=50．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，矩形的判定，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．