Question

如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，BD=BE．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB=60°，AB=4，求四邊形ABED的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)已知條件推知四邊形ABEC是平行四邊形，則對(duì)邊相等：AC=BE，依據(jù)等量代換得到對(duì)角線(xiàn)AC=BD，則平行四邊形ABCD是矩形；
（2）利用“矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且相互平分”的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到△AOB是等邊三角形，則易求OB=AB=4，所以通過(guò)勾股定理求得BC的長(zhǎng)度，再利用梯形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD．
又∵點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，
∴AB∥CE．
又∵BE∥AC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴AC=BE．
又BD=BE，
∴AC=BD，
∴平行四邊形ABCD是矩形；

（2）解：∵在矩形ABCD中，∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴BO=AB=4，
∴BD=2BO=2×4=8，
又∵四邊形ABEC是平行四邊形，
∴CE=AB=4，
∴DE=CD+CE=8，
在Rt△ABC中，BC=

BD2-CD2

=

82-42

=4

3

，
∴四邊形ABED的面積=

1

2

（4+8）×4

3

=24

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．