Question

如圖1的圖形，像我們常見的風(fēng)箏．我們不妨把這樣圖形叫做“箏形”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識呢？
下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：
觀察“箏形”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；
請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：

①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠A=58°，則∠ABX+∠ACX=

 

°；
②如圖3，已知DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=60°，∠DBE=150°，則∠DCE=

 

°；
②如圖4，已知∠ABD，∠ACD 的10等分線相交于點(diǎn)G₁、G₂…、G₉，若∠BDC=140°，∠B G₁C=77°，則∠A=

 

°．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：計算題

分析：根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠3=∠B+∠1，∠4=∠2+∠C，然后把兩式相加即可得到∠BDC=∠A+∠B+∠C；
①由前面的結(jié)論得∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，所以∠ABX+∠ACX=90°-58°=32°；
②由前面的結(jié)論得到∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC，∠DBE=∠DCE+∠BDC+∠BEC，再根據(jù)角平分線的定義得∠ADC=∠BDC，∠ACE=∠BEC，所以∠DBE-∠DCE=∠DCE-∠A，然后把∠DAE=60°，∠DBE=150°代入計算即可；
③由前面的結(jié)論得∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，∠BG₁C=∠A+∠ABG₁+∠ACG₁，而∠ABD，∠ACD 的10等分線相交于點(diǎn)G₁、G₂…、G₉，則∠ABG₁=

1

10

∠ABD，∠ACG₁=

1

10

∠ACD，所以10∠BG₁C=10∠A+∠ABD+∠ACD，利用等式的性質(zhì)得到10∠BG₁C-∠BDC=9∠A，即有∠A=

1

9

（10×77°-140°）=70°．

解答：解：∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由如下：
作射線AD，如圖，
∵∠3=∠B+∠1，∠4=∠2+∠C，
∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠B+∠C，
即∠BDC=∠A+∠B+∠C；
①∵∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，
∴∠ABX+∠ACX=90°-58°=32°；
②∵∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC，∠DBE=∠DCE+∠BDC+∠BEC，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC=∠BDC，∠ACE=∠BEC，
∴∠DBE-∠DCE=∠DCE-∠A，
∴∠DCE=

1

2

（∠DBE+∠A）=

1

2

×（150°+60°）=105°；
③∵∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD，∠BG₁C=∠A+∠ABG₁+∠ACG₁，
而∠ABD，∠ACD 的10等分線相交于點(diǎn)G₁、G₂…、G₉，
∴∠ABG₁=

1

10

∠ABD，∠ACG₁=

1

10

∠ACD，
∴10∠BG₁C=10∠A+∠ABD+∠ACD，
∴10∠BG₁C-∠BDC=9∠A，
∴∠A=

1

9

（10×77°-140°）=70°．
故答案為32，105，70．

點(diǎn)評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)．