Question

已知：如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點O，∠ABC、∠ACB的外角平分線交于點D．

（1）求證：∠BOC+∠BDC=180°；
（2）若△ABC的三個外角平分線交點為D、E、F（如圖2），求證：△DEF為銳角三角形．

Answer 1

考點：三角形內角和定理,三角形的外角性質,多邊形內角與外角

專題：證明題

分析：（1）如圖1，根據角平分線的定義得到∠1=

1

2

∠ABC，∠3=

1

2

∠CBE，則利用平角的定義得到∠1+∠3=90°，同理可得∠2+∠4=90°，然后根據四邊形的內角和即可得到∠BOC+∠BDC=180°；
（2）如圖2，根據角平分線定義得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用三角形外角性質得∠1+∠2=∠BAC+∠ACB=∠BAC+180°-∠3-∠4，則∠1+∠3=90°+

1

2

∠BAC，然后根據三角形內角和定理得到∠D=180°-（∠1+∠3）=90°-

1

2

∠BAC，于是可判斷∠D為銳角，同理可得∠F=90°-

1

2

∠ACB，∠E=90°-

1

2

∠ABC，也可判斷∠E、∠F都是銳角，所以△DEF為銳角三角形．

解答：證明：（1）如圖1，
∵OB平分∠ABC，
∴∠1=

1

2

∠ABC，
∵BD平分∠CBE，
∴∠3=

1

2

∠CBE，
∵∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠1+∠3=

1

2

×180°=90°，
同理可得∠2+∠4=90°，
在四邊形OBDC中，
∵∠OBD+∠BOC+∠OCD+∠BDC=360°，
∴∠BOC+∠BDC=180°；
（2）如圖2，
∵BD和CD為△ABC的外角平分線，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2=∠BAC+∠ACB
=∠BAC+180°-∠3-∠4，
∴2∠1=∠BAC+180°-2∠3，
∴∠1+∠3=90°+

1

2

∠BAC，
∴∠D=180°-（∠1+∠3）=90°-

1

2

∠BAC，
∴∠D為銳角，
同理可得∠F=90°-

1

2

∠ACB，∠E=90°-

1

2

∠ABC，
∴∠E、∠F都是銳角，
∴△DEF為銳角三角形．

點評：本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和是180°．也考查了多邊形的內角與外角．