Question

已知，在△ABC中，∠ACB是銳角，D是線段CB延長線上一點，以AD為邊向右側(cè)作等邊△ADE，連接CE．

（1）如圖1，若△ABC為等邊三角形時，求證：∠DCE=60°；
（2）如圖2，若△ABC不是等邊三角形，BC＞AC．試問當∠ACB滿足什么條件時，能使∠DCE=60°？并證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由△ABC和△ADE是等邊三角形可以得出AB=BC=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠DAE=60°，得出∠ABD=120°，由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE=120°，就可以得出結(jié)論；
（2）當∠ACB=60°時，如圖2，在CD上取一點F使AF=AC，就可以得出△AFC是等邊三角形，就可以得出△AFD≌△ACE，就可以得出∠AFD=∠ACE=120°，就可以得出結(jié)論．

解答：證明：（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，△ADE是等邊三角形，
∴∠DAE=∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE．
∴∠ABD=120°，∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE
∴∠DAB=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，

AB=AE ∠DAB=∠CAE AB=AC

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE=∠ABD=120°．
∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=120°-60°=60°；
（2）當∠ACB=60°時，∠DCE=60°．
理由：如圖2，在線段CB上截取CF=AC，連接AF．
∵∠ACB=60°，
∴△AFC是等邊三角形，
∴AF=CF=AC，∠CAF=∠ACF=∠AFC=60°，
∴∠AFD=120°．
∵△ADE是等邊三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°．
∴∠DAE=∠CAF，
∴∠DAE-∠FAE=∠CAF-∠FAE，
∴∠DAF=∠CAE．
在△AFD和△ACE中

AF=AC ∠DAF=∠CAE AD=AE

，
∴△AFD≌△ACE（SAS），
∴∠AFD=∠ACE=120°，
∴∠DCE=60°

點評：本題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)的運用，平角的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．