Question

已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD，CE相交于點O，且OB=OC．
（1）判斷點O是否在∠BAC的角平分線上，并說明理由；
（2）求證：△ABC是等腰三角形；
（3）連接DE，那么DE與BC是否平行？為什么？

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：

分析：（1）由BD，CE是兩條高就可以得出∠BEC=∠CDB=90°，由OB=OC就可以得出∠BCE=∠DBC，就可以得出△BCE≌△CBD，就可以得出CE=BD，得出OE=OD，得出結(jié)論；
（2）由△BCE≌△CBD就可以得出∠EBD=∠DCB，得出AB=AC，從而得出結(jié)論；
（3）由△BCE≌△CBD可以得出CD=BE，就可以得出AD=AE，得出∠AED=

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2

（180°-∠A），由∠ABC=

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（180°-∠A），得出∠AED=∠ABC而得出結(jié)論．

解答：解：（1）點O在∠BAC的角平分線上．
理由：∵BD，CE是△ABC的兩條高，
∴∠BEC=∠CDB=90°．
∵OB=OC，
∴∠BCE=∠DBC．
在△BCE和△CBD中，

∠BEC=∠CDB ∠BCE=∠DBC BC=CB

，
∴△BCE≌△CBD（AAS），
∴CE=BD，
∴CE-OC=BD-OB，
∴OE=OD．
∴點O是否在∠BAC的角平分線上；
（2）∵△BCE≌△CBD，
∴∠EBD=∠DCB．
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（3）DE∥BC．
理由：如圖1，
∵△BCE≌△CBD，
∴BE=CD，
∴AB-BE=AC-CD，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠AED=

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（180°-∠A）．
∵∠EBD=∠DCB，
∴∠ABC=

1

2

（180°-∠A），
∴∠AED=∠ABC，
∴DE∥BC．

點評：本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．