Question

如圖，在△ABC中，∠A=45°，邊AC的垂直平分線交邊AB于E點，交CB的延長線于點F，垂足為點D．如果AB=AC，求證：EC=EF．

Answer 1

考點：線段垂直平分線的性質,等腰三角形的性質

專題：證明題

分析：根據三角形內角和定理和等腰三角形性質求出∠ABC=∠ACB=67.5°，根據垂直平分線的性質得出AE=CE，推出∠ACE=∠A=45°，求出∠ECB=22.5°，求出∠FDB=∠AED=45°，根據三角形外角性質得出∠F=∠ABC-∠FDB=22.5°，求出∠F=∠ECB即可．

解答：證明：∵∠A=45°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=

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（180°-∠A）=67.5°，
∵DE是AC的垂直平分線，
∴AE=CE，
∴∠ACE=∠A=45°，
∴∠ECB=67.5°-45°=22.5°，
∵DE是AC的垂直平分線，
∴∠EDA=90°，
∵∠A=45°，
∴∠AED=45°，
∴∠FDB=∠AED=45°，
∵∠ABC=67.5°，
∴∠F=∠ABC-∠FDB=22.5°，
∴∠F=∠ECB，
∴EC=EF．

點評：本題考查了線段垂直平分線性質，等腰三角形的性質和判定，三角形的內角和定理的應用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．