Question

已知在等腰△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC，求BC的長．

Answer 1

考點：黃金分割,等腰三角形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)計算出∠ABC=∠C=72°，再利用角平分線的定義得∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC=36°，易得AD=BD=CB，再證明△ABC∽△BDC，根據(jù)相似的性質(zhì)得BC：DC=AC：BC，用等線段代換得AD：DC=AC：AD，然后根據(jù)黃金分割的定義求解．

解答：解：∵AB=AC=1，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=

1

2

（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：DC=AC：BC，
∴AD：DC=AC：AD，
∴點D為AC的黃金分割點，
∴AD=

5 -1

2

AB=

5 -1

2

，
∴BC

5 -1

2

．

點評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．