Question

（1）設(shè)p是質(zhì)數(shù)，p＞3．求證：24|p²-1
（2）設(shè)c不能被質(zhì)數(shù)的平方整除，且a²|b²c，求證：a|b．

Answer 1

分析：（1）p²-1=（p-1）（p+1），因?yàn)閜-1，p，p+1為三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中必定有一個(gè)是3的倍數(shù)，而p是質(zhì)數(shù)，可知p-1，p+1中有一個(gè)是3的倍數(shù)，且都是偶數(shù)，其中必定有一個(gè)是4的倍數(shù)，而24=2³×3，故可證結(jié)論；
（2）為證a|b，只需證明對(duì)任意質(zhì)數(shù)p，a中p的冪指數(shù)不超過(guò)b中p的冪指數(shù)即可，如果用p（a）表示a中p的冪指數(shù)，則只需證明p（a）≤p（b）即可．

解答：證明：（1）∵p²-1=（p-1）（p+1），而p-1，p，p+1為三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，
∴三個(gè)數(shù)中必定有一個(gè)是3的倍數(shù)，
而p是質(zhì)數(shù)，
∴p-1，p+1中必有一個(gè)是3的倍數(shù)，
又∵p＞3，
∴p-1，p+1都是偶數(shù)，且其中必定有一個(gè)是4的倍數(shù)，
而24=2³×3，
∴24|（p²-1）．

（2）設(shè)任意質(zhì)數(shù)為p，p（a）表示a中p的冪指數(shù)．
∵c不能被質(zhì)數(shù)的平方整除，且a²|b²c，
∴p（c）≤1，p（a²）≤p（b²c），
∴2p（a）≤2p（b）+p（c），
∴p（a）≤p（b）+

1

2

p（c），
即p（a）≤p（b），
∴a|b．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)及數(shù)的整除性的知識(shí)，屬于競(jìng)賽題型，有一定難度．（1）中關(guān)鍵是利用因式分解得出三個(gè)連續(xù)自然數(shù)進(jìn)行分析，證明結(jié)論；（2）中關(guān)鍵是明確即證p（a）≤p（b）即可．