【題目】如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.有直角∠MPN,使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合,直角邊PM、PN分別與OA、OB重合,然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN,旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<90°),PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn),連接EF交OB于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中正確的是 .
(1)EF=OE;(2)S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)BE+BF=OA;(4)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;(5)OGBD=AE2+CF2.
【答案】(1),(2),(3),(5).
【解析】
試題分析:(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,
∴∠BOF+∠COF=90°,
∵∠EOF=90°,
∴∠BOF+∠COE=90°,
∴∠BOE=∠COF,
在△BOE和△COF中,
,
∴△BOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,BE=CF,
∴EF=OE;故正確;
(2)∵S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD,
∴S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;故正確;
(3)∴BE+BF=BF+CF=BC=OA;故正確;
(4)過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC,
∵BC=1,
∴OH=BC=,
設(shè)AE=x,則BE=CF=1﹣x,BF=x,
∴S△BEF+S△COF=BEBF+CFOH=x(1﹣x)+(1﹣x)×=﹣(x﹣)2+,
∵a=﹣<0,
∴當(dāng)x=時(shí),S△BEF+S△COF最大;
即在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;故錯(cuò)誤;
(5)∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=∠OBE=45°,
∴△OEG∽△OBE,
∴OE:OB=OG:OE,
∴OGOB=OE2,
∵OB=BD,OE=EF,
∴OGBD=EF2,
∵在△BEF中,EF2=BE2+BF2,
∴EF2=AE2+CF2,
∴OGBD=AE2+CF2.故正確.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,過(guò)點(diǎn)A作直線MN,使MN∥BC,點(diǎn)D在直線MN上,作射線BD,將射線BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α后交直線AC于點(diǎn)E.
(1)如圖①,當(dāng)α=60°,且點(diǎn)D在射線AN上時(shí),直接寫出線段AB,AD,AE的數(shù)量關(guān)系.
(2)如圖②,當(dāng)α=45°,且點(diǎn)D在射線AN上時(shí),直寫出線段AB、AD、AE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(3)當(dāng)α=30°時(shí),若點(diǎn)D在射線AM上,∠ABE=15°,AD=﹣1,請(qǐng)直接寫出線段AE的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】提出問(wèn)題:(1)如圖①,正方形ABCD中,點(diǎn)E,點(diǎn)F分別在邊AD和邊CD上,若正方形邊長(zhǎng)為4,DE+DF=4,則四邊形BEDF的面積為 .
探究問(wèn)題:(2)如圖②,四邊形ABCD,AB=BC=4,∠ABC=60°,∠ADC=120°,點(diǎn)E、F分別是邊AD和邊DC上的點(diǎn),連接BE,BF,若ED+DF=3,BD=2,求四邊形EBFD的面積;
解決問(wèn)題:(3)某地質(zhì)勘探隊(duì)為了進(jìn)行資源助測(cè),建立了如圖③所示的一個(gè)四邊形野外勘查基地,基地相鄰兩側(cè)邊界DA、AB長(zhǎng)度均為4km,∠DAB=90°,由于勘測(cè)需要及技術(shù)原因,主勘測(cè)儀C與基地邊緣D、B夾角為90°(∠DCB=90°),在邊界CD和邊界BC上分別有兩個(gè)輔助勘測(cè)儀E和F,輔助勘測(cè)儀E和F與主勘測(cè)儀C的距離之和始終等于4km(CE+CF=4).為了達(dá)到更好監(jiān)測(cè)效果,需保證勘測(cè)區(qū)域(四邊形EAFC)面積盡可能大.請(qǐng)問(wèn)勘測(cè)區(qū)域面積有沒(méi)有最大值,如果有求出最大值,如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8,tan∠CAD=,CA=CD,E、F分別是AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與A、D不重合),且∠FEC=∠ACB.
(1)求CD的長(zhǎng);
(2)若AF=2,求DE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,弦,,的平分線交⊙O于點(diǎn)D,求:
(1)BC,AD的長(zhǎng);
(2)圖中兩陰影部分面積之和.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題:
(1)寫出方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根;
(2)當(dāng)x為何值時(shí),y>0?當(dāng)x為何值時(shí),y<0?
(3)寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】盒中有若干枚黑棋和白棋,這些棋除顏色外無(wú)其他差別,現(xiàn)讓學(xué)生進(jìn)行摸棋試驗(yàn):每次摸出一枚棋,記錄顏色后放回?fù)u勻.重復(fù)進(jìn)行這樣的試驗(yàn)得到以下數(shù)據(jù):
摸棋的次數(shù)n | 100 | 200 | 300 | 500 | 800 | 1000 |
摸到黑棋的次數(shù)m | 24 | 51 | 76 | 124 | 201 | 250 |
摸到黑棋的頻率(精確到0.001) | 0.240 | 0.255 | 0.253 | 0.248 | 0.251 | 0.250 |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)從盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是 ;(精確到0.01)
(2)若盒中黑棋與白棋共有4枚,某同學(xué)一次摸出兩枚棋,請(qǐng)計(jì)算這兩枚棋顏色不同的概率,并說(shuō)明理由
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,且OA=1,OB=3,頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q.
(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn),以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),且與直線CD相切,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M,使得△DCM∽△BQC?如果存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等邊△ABC中,D為BC邊上一點(diǎn),E為AC邊上一點(diǎn),且∠ADB+∠EDC=120°.
(1)求證:△ABD∽△DCE;
(2)若CD=12,CE=3,求△ABC的周長(zhǎng).
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