Question

如圖，P、Q分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點，且BP=BQ，過B點作PC的垂線，垂足為H．
①圖中有

 

對相似三角形．
②若正方形的邊長為1，P為AB的三等分點，求△BHQ的面積．
③求證：DH⊥HQ．

Answer 1

考點：正方形的性質,勾股定理,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：①△PHB與△PBC，△PHB與△HBC，△CHB與△PBC，△BHQ與△DHC．
②作HE⊥BC，由P為AB的三等分點，求得BP=

1

3

，在Rt△PBC中，由勾股定理得PC=

10

3

，由BP•BC=BH•PC，得BH=

BP•BC

PC

=

10

10

，在Rt△BHC中，由勾股定理得CH=

3 10

10

，由BH•CH=HE•BC，可得HE=

3

10

，解得△BHQ的面積．
③要證QH⊥DH，只要證明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，從而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ與△DHC相似．

解答：①解：圖中有4對相似三角形．
故答案為：4．   
②解：作HE⊥BC，
∵正方形的邊長為1，P為AB的三等分點，
∴BP=BQ=

1

3

，
在Rt△PBC中，由勾股定理得PC=

10

3

，
∵BP•BC=BH•PC，
∴BH=

BP•BC

PC

=

10

10

，
在Rt△BHC中，由勾股定理得CH=

3 10

10

，
∵BH•CH=HE•BC，
∴HE=

BH•CH

BC

=

3

10

，
∴△BHQ的面積S=

1

2

EH•BQ=

1

2

×

3

10

×

1

3

=

1

20

③證明：在Rt△PBC中，
∵BH⊥PC，
∴∠PBC=∠PHB=90°，
∴∠PBH=∠PCB．
顯然，Rt△PBC∽Rt△BHC，
∴

BH

PB

=

HC

BC

，
由已知，BP=BQ，BC=DC，
∴

BH

BQ

=

HC

CD

∴

BH

CH

=

BQ

CD

，
∵∠ABC=∠BCD=90°，∠PBH=∠PCB，
∴∠HBQ=∠HCD．
在△HBQ與△HCD中，
∵

BH

CH

=

BQ

CD

，∠HBQ=∠HCD，
∴△HBQ∽△HCD，
∴∠BHQ=∠DHC，
∠BHQ+∠QHC=∠DHC+∠QHC．
又∵∠BHQ+∠QHC=90°，
∴∠QHD=∠QHC+∠DHC=90°，
即DH⊥HQ． 

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定以及正方形的性質，關鍵是相似三角形的判定．