【題目】如圖1,給定銳角三角形ABC,小明希望畫正方形DEFG,使D,E位于邊BC上,F,G分別位于邊AC,AB上,他發(fā)現(xiàn)直接畫圖比較困難,于是他先畫了一個正方形HIJK,使得點H,I位于射線BC上,K位于射線BA上,而不需要求J必須位于AC上.這時他發(fā)現(xiàn)可以將正方形HIJK通過放大或縮小得到滿足要求的正方形DEFG.
閱讀以上材料,回答小明接下來研究的以下問題:
(1)如圖2,給定銳角三角形ABC,畫出所有長寬比為2:1的長方形DEFG,使D,E位于邊BC上,F,G分別位于邊AC,AB上.
(2)已知三角形ABC的面積為36,BC=12,在第(1)問的條件下,求長方形DEFG的面積.
【答案】(1)見解析;(2) 18或.
【解析】
(1)如圖2,先畫長方形HIJK,使得HI=2HK,并且H,I位于射線BC上,K位于射線BA上,連結(jié)BJ并延長交AC于點F,再將長方形HIJK通過放大可得到滿足要求的長方形DEFG;如備用圖,先畫長方形HIJK,使得HK=2HI,并且H,I位于射線BC上,K位于射線BA上,連結(jié)BJ并延長交AC于點F,再將長方形HIJK通過放大可得到滿足要求的長方形DEFG;
(2)作△ABC的高AM,交GF于N.由三角形ABC的面積為36,求出AM=6.再設(shè)AN=x,由GF∥BC,得出△AGF∽△ABC,根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式,由此求出x的值,進而求解即可.
解 (1)如圖2與備用圖1,長方形DEFG即為所求作的圖形;
(2)在長方形DEFG中,如果DE=2DG,如備用圖2,作△ABC的高AM,交GF于N.
∵三角形ABC的面積=BC·AM=×12AM=36,
∴AM=6.
設(shè)AN=x,則MN=6-x,DG=MN=6-x,DE=GF=2(6-x)=12-2x.
∵GF∥BC,
∴△AGF∽△ABC,
∴=,
∴=,
解得x=3,
∴DG=6-x=3,DE=2DG=6,
∴長方形DEFG的面積=6×3=18;
在長方形DEFG中,如果DG=2DE,同理求出x=,
∴DG=6-x=,DE=DG=,
∴長方形DEFG的面積=×=.
故長方形DEFG的面積為18或.
故答案為:(1)見解析;(2) 18或.
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【題目】一個不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“書”、“ 香”、“ 歷”、“ 城”的四個小球,除漢字不同之外,小球沒有任何區(qū)別,每次摸球前先攪拌均勻.
(1)若從中任取一個球,球上的漢字剛好是 “書”的概率為__________.
(2)從中任取一球,不放回,再從中任取一球,請用樹狀圖或列表的方法,求取出的兩個球上的漢字能組成“歷城”的概率.
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【題目】如圖,P點是某海域內(nèi)的一座燈塔的位置,船A停泊在燈塔P的南偏東53°方向的50海里處,船B位于船A的正西方向且與燈塔P相距20海里.(本題參考數(shù)據(jù)sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33.)
(1)試問船B在燈塔P的什么方向?
(2)求兩船相距多少海里?(結(jié)果保留根號)
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【題目】如圖是一個腰長為4cm,底邊長為3cm的等腰三角形,現(xiàn)在要利用這個等腰三角形加工出一個邊長比是1:2的平行四邊形,使平行四邊形的一個內(nèi)角恰好是這個等腰三角形的底角,平行四邊形的其他頂點均在三角形的邊上,則這個平行四邊形的較短的邊長是_____.
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【題目】已知:如圖①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動,速度為1cm/s;點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動,速度為2cm/s;連接PQ.若設(shè)運動的時間為t(s)(0<t<4),解答下列問題:
(1)當(dāng)t為何值時,PQ∥BC;
(2)設(shè)△AQP的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時刻t,使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分?若存在,求出此時t的值;若不存在,說明理由;
(4)如圖②,連接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四邊形PQP′C,那么是否存在某一時刻t,使四邊形PQP′C為菱形?若存在,求出此時菱形的邊長;若不存在,說明理由.
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【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°,在下列條件中不能解直角三角形的是( )
A. 已知a和A B. 已知c和b
C. 已知A和B D. 已知a和B
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【題目】如圖,已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐標(biāo)系中,點B,F的坐標(biāo)分別為(-4,4),(2,1).若矩形ABCD和矩形EFGO是位似圖形,點P(點P在GC上)是位似中心,則點P的坐標(biāo)為( )
A. (0,3)
B. (0,2.5)
C. (0,2)
D. (0,1.5)
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【題目】如圖,O點是△ABC與△D1E1F1的位似中心,△ABC的周長為1.若D1、E1、F1分別是線段OA、OB、OC的中點,則△D1E1F1的周長為;若OD2=OA、OE2=OB、OF2=OC,則△D2E2F2的周長為;…若ODn=OA、OEn=OB、OFn=OC,則△DnEnFn的周長為__________.(用正整數(shù)n表示)
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【題目】如圖,AM是△ABC的中線,點D是線段AM上一點(不與點A重合).過點D作KD∥AB,交BC于點K,過點C作CE∥AM,交KD的延長線于點E,連接AE、BD.
(1)求證:△ABM∽△EKC;
(2)求證:ABCK=EKCM;
(3)判斷線段BD、AE的關(guān)系,并說明理由.
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