Question

如圖，已知BD垂直平分AC，連接AB，BC，CD，AD，以AD為邊作△ADF，∠ADF=∠BCD，AF⊥AC．
（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AE的長．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）先證得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，從而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因為BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可證得；
（2）先證得平行四邊形是菱形，然后根據(jù)勾股定理即可求得AE的長度．

解答：（1）證明：∵BD垂直平分AC，∴AB=BC，AD=DC，
在△ADB與△CDB中，

AB=BC AD=DC DB=DB

，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠BCD=∠BAD．
∵∠BCD=∠ADF，
∴∠BAD=∠ADF，
∴AB∥FD，
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四邊形ABDF是平行四邊形；

（2）解：∵四邊形ABDF是平行四邊形，AF=DF=5，
∴AB=BD=5．
∵AD=6，
設BE=x，則DE=5-x，
∴AB²-BE²=AD²-DE²，即5²-x²=6²-（5-x）²
解得：x=

7

5

，
∴AE=

AB2-BE2

=

24

5

．

點評：本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應用．平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．