Question

直線y=k₁x與雙曲線y=

k2

x

交于A、B兩點(diǎn)（k₁，k₂為大于0的常數(shù)）．
（1）如圖1，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4）
①求k₁和k₂的值；
②過A作AP⊥x軸，垂足為P，Q是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，且以點(diǎn)A、O、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出所有滿足條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），點(diǎn)C（c，d） 是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)C在點(diǎn)A的上方，直線AC與y軸、x軸分別交于D、E兩點(diǎn)，直線BC與y軸、x軸分別交于F、G兩點(diǎn)．
①求證：∠CGE=∠CEG；
②△ADF的面積能不能為定值？若能，求出此定值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）①把A（2，4）分別代入兩個(gè)解析式可求出k₁=2，k₂=8；
②分類討論：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，當(dāng)OA為對(duì)角線時(shí)，可得Q（0，4）；當(dāng)OP為對(duì)角線時(shí)，可得Q（0，-4）；當(dāng)AP為對(duì)角線時(shí)，可得Q（4，4）；
（2）①過C作CN∥y軸，過B作BN∥x軸，它們交于N點(diǎn)，過A點(diǎn)作AM∥x軸交CN于M，如圖2，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（-a，-b），易得AM∥GE，則∠CEG=∠CAM，在Rt△ACM中，根據(jù)正切的定義得tan∠CAM=

d-b

a-c

，
則tan∠CEG=

d-b

a-c

，利用點(diǎn)A和點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上得到ab=cd=k₂，即

b

c

=

d

a

，根據(jù)比例的性質(zhì)得

b

c

=

d

a

=

d-b

a-c

，則tan∠CEG=

b

c

，同樣在Rt△CBN中，tan∠CBN=

d+b

a+c

=tan∠CGE，利用比例性質(zhì)得

b

c

=

d

a

=

b+d

a+c

，則tan∠CGE=

b

c

，所以∠CEG=∠CGE；
②過點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H，如圖3，則CH∥GE，則∠DCH=∠CEG，∠HCF=∠CGE，而∠CEG=∠CGE，所以∠DCH=∠HCF，根據(jù)等腰直角三角形的判定方法得到△CDF是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得DH=HF，由于tan∠DCH=

DH

HC

=tan∠CAG=

b

c

，而HC=c，則DH=b，DF=2b，然后根據(jù)三角形的面積公式得S_△ADF=

1

2

•2b•a=k₂，于是可判斷△ADF的面積為定值．

解答：解：（1）①∵直線y=k₁x與雙曲線y=

k2

x

都經(jīng)過A（2，4），
∴k₁=

4

2

=2，k₂=2×4=8，
②∵AP⊥x軸，以點(diǎn)A、O、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴當(dāng)OQ∥AP時(shí)，如圖1，則OQ₁=AP=4，或OQ₂=AP=4，
∴Q₁（0，4），Q₂（0，-4），
當(dāng)OP∥AQ時(shí)，則AQ₃=OP=2，
∴Q₃（4，4），
即滿足條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）、（0，-4）、（4，4）；

（2）①過C作CN∥y軸，過B作BN∥x軸，它們交于N點(diǎn)，過A點(diǎn)作AM∥x軸交CN于M，如圖2，B點(diǎn)坐標(biāo)為（-a，-b），
∴AM∥GE，
∴∠CEG=∠CAM，
在Rt△ACM中，tan∠CAM=

d-b

a-c

，
∴tan∠CEG=

d-b

a-c

，
∵ab=cd=k₂，即

b

c

=

d

a

，
∴

b

c

=

d

a

=

d-b

a-c

，
∴tan∠CEG=

b

c

，
在Rt△CBN中，tan∠CBN=

d+b

a+c

，
∴tan∠CGE=

d+b

a+c

，
∵ab=cd，即

b

c

=

d

a

，
∴

b

c

=

d

a

=

b+d

a+c

，
∴tan∠CGE=

b

c

，
∵∠CEG、∠CGE都是銳角，
∴∠CEG=∠CGE；
②△ADF的面積為定值．
過點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H，如圖3，
則CH∥GE，
∴∠DCH=∠CEG，∠HCF=∠CGE，
而∠CEG=∠CGE，
∴∠DCH=∠HCF
∴△CDF是等腰三角形，
∴DH=HF，
∵tan∠DCH=

DH

HC

=tan∠CAG=

b

c

，
而HC=c，
∴DH=b，
∴DF=2b，
∴S_△ADF=

1

2

•2b•a=k₂，
∴△ADF的面積為定值k₂．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義和比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．