【題目】某校九年級的小紅同學,在自己家附近進行測量一座樓房高度的實踐活動.如圖,她在山坡坡腳A出測得這座樓房的樓頂B點的仰角為60°,沿山坡往上走到C處再測得B點的仰角為45°.已知OA=200m,此山坡的坡比i=,且O、A、D在同一條直線上.
求:(1)樓房OB的高度;
(2)小紅在山坡上走過的距離AC.(計算過程和結(jié)果均不取近似值)
【答案】(1)200 m;(2)m.
【解析】試題分析:(1)由在Rt△ABO中,∠BAO=60°,OA=200,則可得tan60°=,則利用正切函數(shù)的知識即可求得答案;
(2)首先過點C作CE⊥BO于E,CH⊥OD于H,由題意可知i=,然后設(shè)CH=x,AH=2x,在Rt△BEC中,∠BCE=45°,利用直角三角形的性質(zhì),即可得方程:200﹣x=200+2x,由在Rt△ACH中,利用勾股定理即可求得答案.
解:(1)在Rt△ABO中,∠BAO=60°,OA=200.
∵tan60°=,
即,
∴OB=OA=200(m).
(2)如圖,過點C作CE⊥BO于E,CH⊥OD于H.
則OE=CH,EC=OH.
根據(jù)題意,知i=,
可設(shè)CH=x,AH=2x. …
在Rt△BEC中,∠BCE=45°,
∴BE=CE,
即OB﹣OE=OA+AH.
∴200﹣x=200+2x.
解得x=. …
在Rt△ACH中,
∵AC2=AH2+CH2,
∴AC2=(2x)2+x2=5x2.
∴AC=x=(m).
答:高樓OB的高度為200m,小玲在山坡上走過的距離AC為 m.
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【題目】閱讀對話,解答問題:
(1)分別用a、b表示小冬從小麗、小兵袋子中抽出的卡片上標有的數(shù)字,請用樹狀圖法或列表法寫出(a,b)的所有取值;
(2)求在(a,b)中使關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+2b=0有實數(shù)根的概率.
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【題目】為增強學生的身體素質(zhì),教育行政部門規(guī)定每位學生每天參加戶外活動的平均時間不少于1小時. 為了解學生參加戶外活動的情況,對部分學生參加戶外活動的時間進行抽樣調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制作成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,
請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中共調(diào)查了多少名學生?
(2)求戶外活動時間為1.5小時的人數(shù),并補充頻數(shù)分布直方圖;
(3)戶外活動時間的眾數(shù)和中位數(shù)分別是多少?
(4)若該市共有20000名學生,大約有多少學生戶外活動的平均時間符合要求?
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【題目】如圖,拋物線y=﹣2x2+8x﹣6與x軸交于點A、B,把拋物線在x軸及其上方的部分記作C1,將C1向右平移得C2,C2與x軸交于點B,D.若直線y=x+m與C1、C2共有3個不同的交點,則m的取值范圍是____________.
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【題目】閱讀下列材料:
環(huán)視當今世界,科技創(chuàng)新已成為發(fā)達國家保持持久競爭力的“法寶”.研究與試驗發(fā)展(R&D)活動的規(guī)模和強度指標反映一個地區(qū)的科技實力和核心競爭力.
北京市在研究和實驗發(fā)展(R&D)活動中的經(jīng)費投入也在逐年增加.2012年北京市全年研究與試驗發(fā)展(R&D)經(jīng)費投入1031.1億元,比上年增長10.1%.2013年全年研究與試驗發(fā)展(R&D)經(jīng)費投入1200.7億元.2014年全年研究與試驗發(fā)展(R&D)經(jīng)費投入1286.6億元.2015年研究與試驗發(fā)展(R&D)經(jīng)費投入1367.5億元.2016年研究與試驗發(fā)展(R&D)經(jīng)費投入1479.8億元,相當于地區(qū)生產(chǎn)總值的5.94%.
(以上數(shù)據(jù)來源于北京市統(tǒng)計局)
根據(jù)以上材料解答下列問題:
(1)用折線統(tǒng)計圖或者條形統(tǒng)計圖將2012﹣2016年北京市在研究和實驗發(fā)展(R&D)活動中的經(jīng)費投入表示出來,并在圖中標明相應數(shù)據(jù);
(2)根據(jù)繪制的統(tǒng)計圖提供的信息,預估2017年北京市在研究和實驗發(fā)展(R&D)活動中的經(jīng)費投入約為多少億元,寫出你的預估理由.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程.
求證:該方程必有兩個實數(shù)根;
設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別是,,若是關(guān)于x的函數(shù),且,其中,求這個函數(shù)的解析式;
設(shè),若該一元二次方程只有整數(shù)根,且k是小于0的整數(shù)結(jié)合函數(shù)的圖象回答:當自變量x滿足什么條件時,?
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【題目】問題發(fā)現(xiàn):
()如圖①,中,,,,點是邊上任意一點,則的最小值為__________.
()如圖②,矩形中,,,點、點分別在、上,求的最小值.
()如圖③,矩形中,,,點是邊上一點,且,點是邊上的任意一點,把沿翻折,點的對應點為點,連接、,四邊形的面積是否存在最小值,若存在,求這個最小值及此時的長度;若不存在,請說明理由.
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【題目】善于不斷改進學習方法的小迪發(fā)現(xiàn),對解題進行回顧反思,學習效果更好.某一天小迪有20分鐘時間可用于學習.假設(shè)小迪用于解題的時間(單位:分鐘)與學習收益量的關(guān)系如圖1所示,用于回顧反思的時間(單位:分鐘)與學習收益的關(guān)系如圖2所示(其中是拋物線的一部分,為拋物線的頂點),且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間.
(1)求小迪解題的學習收益量與用于解題的時間之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求小迪回顧反思的學習收益量與用于回顧反思的時間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)問小迪如何分配解題和回顧反思的時間,才能使這20分鐘的學習收益總量最大?
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【題目】在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以BC為直徑作☉O交AB于點D.
(1)求線段AD的長度;
(2)點E是線段AC上的一點,試問當點E在什么位置時,直線ED與☉O相切?請說明理由.
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