Question

已知AB是圓O的切線，切點(diǎn)為B，直線AO交圓O于C、D兩點(diǎn)，CD＝2，∠DAB=30°,動(dòng)點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，PC交圓O于另一點(diǎn)Q，

（1）當(dāng)點(diǎn)P，運(yùn)動(dòng)到Q、C兩點(diǎn)重合時(shí)（如圖1），求AP的長(zhǎng)。

（2）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有幾個(gè)位置（幾種情況）使△CQD的面積為?（　直接寫出答案）

（3）當(dāng)使△CQD的面積為，且Q位于以CD為直徑的的上半圓上，CQ＞QD時(shí)（如圖2），求AP的長(zhǎng)。

 

Answer 1

（1）本小問(wèn)是利用切線的性質(zhì)，得到∠ACP＝90°，CD＝2，得到半徑的長(zhǎng)度：OD＝OC＝OB

從而利用解直角三角形的方法來(lái)解得AP的長(zhǎng)度。

解：∵AB是圓O的切線

∴∠OBA＝90°

∵ABC中，CD＝2，∠DAB=30°

∴OB＝1

∴OB＝OC＝AC＝1

∵當(dāng)點(diǎn)P，運(yùn)動(dòng)到Q、C兩點(diǎn)重合時(shí)

∴PC為圓O的切線

∴∠PCA＝90°

∵∠DAB=30°，AC＝1

∴AP＝

（2）利用三角形的面積公式，知底和積可求高，然后用平行線去截圓，即可以得到解。

由于CD的長(zhǎng)度2，而S△CQD＝，故CD上的高的長(zhǎng)度為：，從而如圖，我們可得到答案：

（3）利用S△CQD＝，求出CD上的高QN的長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)PM⊥AD于點(diǎn)M，

然后利用相似△QCN∽△DQN求出CN的長(zhǎng)度，再次利用相似△PMC∽△QNC，從而得到MC與MP的關(guān)系，由已知易知AM＝，由AC＝1，從而可以解出MP，從而求出AP的長(zhǎng)度。