【題目】定義:數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,樂老師給出如下定義:有一組對(duì)邊相等而另一組對(duì)邊不相等的凸四邊形叫做對(duì)等四邊形.

解:

(1)如圖1,已知A、B、C在格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))上,請(qǐng)?jiān)诜礁駡D中畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn),AB、BC為邊的兩個(gè)對(duì)等四邊形ABCD;

(2)如圖2,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,AB是⊙O的直徑,AC=BD.求證:四邊形ABCD是對(duì)等四邊形;

(3)如圖3,在Rt△PBC中,∠PCB=90°,BC=11,tan∠PBC=,點(diǎn)A在BP邊上,且AB=13.用圓規(guī)在PC上找到符合條件的點(diǎn)D,使四邊形ABCD為對(duì)等四邊形,并求出CD的長.

【答案】(1)作圖見試題解析;(2)證明見試題解析;(3)13、

【解析】

試題分析:(1)對(duì)等四邊形的定義,畫圖即可;

(2)連接AC,BD,證明RtADBRtACB,得到AD=BC,又AB是O的直徑,所以AB≠CD,即可解答;

(3)根據(jù)對(duì)等四邊形的定義,分兩種情況:①若CD=AB,此時(shí)點(diǎn)D在D1的位置,CD1=AB=13;②若AD=BC=11,此時(shí)點(diǎn)D在D2、D3的位置,AD2=AD3=BC=11;利用勾股定理和矩形的性質(zhì),求出相關(guān)相關(guān)線段的長度,即可解答.

試題解析:(1)如圖1所示(畫2個(gè)即可)

(2)如圖2,連接AC,BD,AB是O的直徑,∴∠ADB=ACB=90°,在RtADB和RtACB中,AB=BA,BD=AC,RtADBRtACB,AD=BC,又AB是O的直徑,AB≠CD,四邊形ABCD是對(duì)等四邊形;

(3)如圖3,點(diǎn)D的位置如圖所示,

①若CD=AB,此時(shí)點(diǎn)D在D1的位置,CD1=AB=13;

②若AD=BC=11,此時(shí)點(diǎn)D在D2、D3的位置,AD2=AD3=BC=11,過點(diǎn)A分別作AEBC,AFPC,垂足為E,F(xiàn),設(shè)BE=x,tanPBC=AE=,在RtABE中,,即,解得:x=5x=﹣5(舍去),BE=5,AE=12,CE=BC﹣BE=6,由四邊形AECF為矩形,可得AF=CE=6,CF=AE=12,在RtAFD2中,F(xiàn)D2=====,綜上所述,CD的長度為13、

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(2)如圖2,當(dāng)∠AOB=α,∠BOC=60°時(shí),猜想∠MON與α的數(shù)量關(guān)系;

(3)如圖3,當(dāng)∠AOB=α,∠BOC=β時(shí),猜想∠MON與α、β有數(shù)量關(guān)系嗎?如果有,指出結(jié)論并說明理由.

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