Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形紙片．把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊上，折痕為AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．

（1）求證：平行四邊形ABCD是矩形；
（2）求BF的長；
（3）求折痕AF長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊上，

∴AE=AB=10，AE2=102=100，

又∵AD2+DE2=82+62=100，

∴AD2+DE2=AE2，

∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，

又∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴平行四邊形ABCD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）

（2）解：設BF=x，則EF=BF=x，EC=CD﹣DE=10﹣6=4cm，FC=BC﹣BF=8﹣x，

在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，

即42+（8﹣x）2=x2，

解得x=5，

故BF=5cm

（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，

∵AB=10cm，BF=5cm，

∴AF= =5 cm

【解析】（1）根據翻折變換的對稱性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理證明三角形為直角三角形，再根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明即可；（2）設BF為x，分別表示出EF、EC、FC，然后在△EFC中利用勾股定理列式進行計算即可；（3）在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可．
【考點精析】本題主要考查了翻折變換（折疊問題）的相關知識點，需要掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等才能正確解答此題．