Question

【題目】如圖，在中，為銳角，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接.以為直角邊且在的上方作等腰直角三角形.

（1）若，

①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（與點(diǎn)不重合），試探討與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)?jiān)趫D2中面出相應(yīng)的圖形并說明理由；

（2）如圖3，若，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，試探究與的位置關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）①CF⊥BD，證明見解析；②成立，理由見解析；（2）CF⊥BD，證明見解析.

【解析】

（1）①根據(jù)同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△ABD全等，②先求出∠CAF=∠BAD，然后與①的思路相同求解即可；

（2）過點(diǎn)A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=AE，∠AED=45°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△AED全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，從而得到CF⊥BD．

解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，

∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，
∴△ACF≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCB=90°，
∴CF⊥BD；
②成立，理由如下：如圖2：

∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，

∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，
∴△ACF≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD；

（2）如圖3，過點(diǎn)A作AE⊥AC交BC于E，

∵∠BCA=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=AE，∠AED=45°，
∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，
∴∠CAF=∠EAD，
在△ACF和△AED中，

∵AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，
∴△ACF≌△AED(SAS)，
∴∠ACF=∠AED=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD．