Question

【題目】如圖①所示，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，E是直線AB上一點(diǎn)，過E作直線l∥BC，交直線CD于點(diǎn)F．將直線l向右平移，設(shè)平移距離BE為t（t≥0），直角梯形ABCD被直線l掃過的面積（圖中陰影部分）為S，S關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖②所示，OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線，N點(diǎn)橫坐標(biāo)為4．

信息讀取
（1）梯形上底的長AB=；
（2）直角梯形ABCD的面積=；
圖象理解
（3）寫出圖②中射線NQ表示的實(shí)際意義；
（4）當(dāng)2＜t＜4時(shí)，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
問題解決
（5）當(dāng)t為何值時(shí)，直線l將直角梯形ABCD分成的兩部分面積之比為1：3．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）12
（3）

解：當(dāng)平移距離BE大于等于4時(shí)，直角梯形ABCD被直線l掃過的面積恒為12

（4）

解：當(dāng)2＜t＜4時(shí)，如圖所示，

直角梯形ABCD被直線l掃過的面積S=S直角梯形ABCD﹣SRt△DOF

=12﹣ （4﹣t）×2（4﹣t）=﹣t2+8t﹣4

（5）

解：①當(dāng)0＜t＜2時(shí)，有4t：（12﹣4t）=1：3，解得t= ．

②當(dāng)2＜t＜4時(shí)，有（﹣t2+8t﹣4）：[12﹣（﹣t2+8t﹣4）]=3：1，

即t2﹣8t+13=0，

解得t=4﹣ ，t=4+ （舍去）．

當(dāng)t= 或t=4﹣ 時(shí)，直線l將直角梯形ABCD分成的兩部分面積之比為1：3

【解析】解：由題意得：（1）AB=2．（2）S梯形ABCD=12．
（1）根據(jù)圖②可知，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，E在線段AB上運(yùn)動(dòng)（包括與A、B重合），在此期間E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了2，因此可求得AB的長為2．（2）根據(jù)圖形可知：當(dāng)2＜t＜4時(shí)，E在AB的延長線上，且F在D點(diǎn)左側(cè)，此期間E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了2，因此下底長為2+2=4，根據(jù)t=2時(shí)，重合部分的面積為8可求出梯形的高為4，因此梯形的面積為 ×（2+4）×4=12．（3）當(dāng)t＞4時(shí)，直線l與梯形沒有交點(diǎn)，因此掃過的面積恒為梯形的面積12．（4）當(dāng)2＜t＜4時(shí)，直線掃過梯形的部分是個(gè)五邊形，如果設(shè)直線l與AD的交點(diǎn)為0，那么重合部分的面積可用梯形的面積減去三角形OFD的面積來求得．梯形的面積在（2）中已經(jīng)求得．三角形OFD中，底邊DF=4﹣t，而DF上的高，可用DF的長和∠BCD的正切值求出，由此可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．（5）本題要分情況討論：①當(dāng)0＜t＜2時(shí)，重合部分的平行四邊形的面積：直角梯形AEFD的面積=1：3，據(jù)此可求出t的值．②當(dāng)2＜t＜4時(shí)，重合部分的五邊形的面積：三角形OFD的面積=3：1，由此可求出t的值．