Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x軸，拋物線y=ax²-2ax+3經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，并且與x軸交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接CD，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P使△PCD為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）BC與拋物線的對(duì)稱軸于F點(diǎn)，先根據(jù)拋物線的性質(zhì)得到對(duì)稱軸為直線x=1，由于BC∥x軸，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到B點(diǎn)和C點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱軸，
則AB=AC，于是可判斷△ABC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AF=BF=1，所以可確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²-2ax+3求出a即可得到拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）先根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題得到D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，t），利用兩點(diǎn)之間的距離公式得到CD²=3²+（2+1）²=18，PC²=1²+（t-3）²，PD²=2²+t²，然后分類討論：當(dāng)CD²=PC²+PD²，即18=1²+（t-3）²+2²+t²，解得t₁=

3- 17

2

，t₂=

3+ 17

2

，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

3- 17

2

），（1，

3+ 17

2

）；當(dāng)PD²=CD²+PC²，即2²+t²=18+1²+（t-3）²，解得t=4，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），；當(dāng)PC²=CD²+PD²，即1²+（t-3）²=18+2²+t²，解得t=-2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）．

解答：解：（1）BC與拋物線的對(duì)稱軸于F點(diǎn)，如圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

-2a

2a

=1，
∵BC∥x軸，
∴B點(diǎn)和C點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱軸，
∴AB=AC，
而∠BAC=90，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴AF=BF=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
把A（1，4）代入y=ax²-2ax+3得a-2a+3=4，解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）令y=0，則-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，t），
∴CD²=3²+（2+1）²=18，PC²=1²+（t-3）²，PD²=2²+t²，
當(dāng)CD²=PC²+PD²，即18=1²+（t-3）²+2²+t²，解得t₁=

3- 17

2

，t₂=

3+ 17

2

，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

3- 17

2

），（1，

3+ 17

2

）；
當(dāng)PD²=CD²+PC²，即2²+t²=18+1²+（t-3）²，解得t=4，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），；
當(dāng)PC²=CD²+PD²，即1²+（t-3）²=18+2²+t²，解得t=-2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）；
∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

3- 17

2

）或（1，

3+ 17

2

）或（1，4）或（1，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．也考查了分類討論的思想和兩點(diǎn)之間的距離公式．