Question

如圖，△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．
（1）如果點(diǎn)Q、P，分別從B、A同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于4cm²？
（2）在（1）中，△PQB的面積能否等于7cm²？說明理由．
（3）如果點(diǎn)Q、P，分別從B、A同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5cm？

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專題：幾何動(dòng)點(diǎn)問題

分析：（1）設(shè)x秒后△PBQ的面積為4cm²，此時(shí)BP=（5-x）cm，BQ=2xcm，根據(jù)三角形的面積公式建立方程求出其解即可；
（2）由（1）得，當(dāng)△PQB的面積等于7cm²說解方程即可；
（3）設(shè)y秒后PQ的長度等于5cm，利用勾股定理得出即可．

解答：解：（1）設(shè)x秒后，△PBQ的面積等于4cm²，
則BP=（5-x）cm，BQ=2xcm，
故S_△QPB=

1

2

×PB×BQ=

1

2

×（5-x）×2x=4
解得：x₁=1，x₂=4．
答：1秒或4秒后，△PBQ的面積等于4cm²；

（2）△PQB的面積不能等于7cm²；
理由：由（1）得：S_△QPB=

1

2

×PB×BQ=

1

2

×（5-x）×2x=7
即x²-5x+7=0，
∵b²-4ac=-24＜0，
∴此方程無實(shí)數(shù)根，
∴△PQB的面積不能等于7cm²；

（3）設(shè)y秒后，PQ的長度等于5cm，根據(jù)題意可得：
PB²+BQ²=25，
即（5-y）²+4y²=25，
解得：y₁=0（不合題意舍去），y₂=2，
故2秒后，PQ的長度等于5cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了列一元二次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)三角形的面積=4建立方程是關(guān)鍵．