Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，角平分線BD、CE交于O，OC=7，S_{四邊形BEDC}=56，求BC長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：在BC上找到M、N使得BM=BE，CN=CD，作BG⊥CE，交CE延長線于G點，易證△BOC面積是四邊形BEDC面積一半．根據(jù)△BOC面積=

1

2

•OC•BG即可求得BG的值，根據(jù)∠BOG=45°可以判定△BOG等腰，根據(jù)BG、GC的長即可求得BC的長．

解答：解：在BC上找到M、N使得BM=BE，CN=CD，作BG⊥CE，交CE延長線于G點，

在△BEO和△BMO中，

BO=BO ∠EBO=∠MBO BE=BM

，
∴△BEO≌△BMO（SAS），
∴MO=OE，
同理△CDO≌△CNO（SAS），
∴MO=OE，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠DOE=∠BOC=180°-

1

2

∠ABC-

1

2

∠ACB=135°，
∴∠DOC=∠EOB=45°，
∴∠EOD+∠MON=180°，
∴△MON面積等于△EOD面積，
∴△BOC面積=

1

2

×四邊形BEDC面積，
∵

1

2

•OC•BG=

1

2

×56，
∴BG=8，
∵∠EOB=45°，BG⊥OG，
∴△BGO為等腰直角三角形，
∴GO=BG=8，
∴GC=GO+OC=15，
在RT△BGC中，BC=

BG2+CG2

=17．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了直角三角形中勾股定理的運用，本題中求證△BOC面積是四邊形BEDC面積一半是解題的關(guān)鍵．