Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是⊙O外一點，連接CA，連接OC交⊙O于點F，交⊙O的弦AD于點E，若點E恰好是AD的中點，且∠C=∠DFB，試判斷直線AC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：先求得∠ADB=90°，再根據(jù)三角形相似求得∠AEO=∠ADB=90°，根據(jù)圓周角的性質(zhì)得出∠BAD=∠BFD，進而求得∠BAD=∠C，從而求得BA⊥AC，即可證得AC是⊙O的切線；

解答：解：AC是⊙O的切線；
理由：連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵

AE

AD

=

1

2

，

OA

AB

=

1

2

，
∴

AE

AD

=

OA

AB

，
∵∠OAE=∠BAD，
∴△OAE∽△BAD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠AOE=90°，
∵∠BAD=∠BFD，∠C=∠DFB，
∴∠BAD=∠C，
∴∠C+∠AOE=90°，
∴∠OAC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切線．

點評：本題考查了圓周角的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，直角三角形銳角互余以及切線的判定等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是關(guān)鍵；