Question

如圖，自△ABC的外接圓弧BC上的任一點M，作MD⊥BC于D，P是AM上一點，作PE⊥AC，PF⊥AB，PG⊥BC，E，F，G分別在AC，AB，AD上．證明：E，F，G三點共線．

Answer 1

考點：四點共圓,圓內接四邊形的性質,相似三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：如圖，連接GE，GF，MC，MB，求出∠POC=∠PEC=90°，由三角形的內角和定理得出∠GPE=∠ACB，∠GPF=∠ABC，證△AGP∽△ADM，得出

PG

MD

=

AP

AM

，證△APE∽△BMD，
得出

AP

BM

=

PE

MD

，推出

PG

MB

=

PE

MA

，根據∠GPE=∠ACB=∠BMA，推出△PEG∽△MAB，求出∠PGE=∠ABM，∠PGF=∠ACM，由圓內接四邊形性質得：∠PGE+∠PGF=180°即可．

解答：證明：如圖，連接GE，GF，MC，MB，
∵PE⊥AC，PF⊥AB，PG⊥BC，
∴∠POC=∠PEC=90°，
∵∠PHB=∠EHC，
由三角形的內角和定理得：∠GPE=∠ACB
同理：∠GPF=∠ABC，
∵GP∥MD，
∴△AGP∽△ADM，
∴

PG

MD

=

AP

AM

，…①
∵∠GPE=∠ACB=∠BMA圓周角定理），∴∠APE=∠BMD，
又∵∠AEP=∠BDM=90°，
∴△APE∽△BMD，
∴

AP

BM

=

PE

MD

，…②
①×②得

PG

MB

=

PE

MA

，
∵∠GPE=∠ACB=∠BMA，
∴△PEG∽△MAB，
∴∠PGE=∠ABM
同理：∠PGF=∠ACM，
由圓內接四邊形性質得：∠PGE+∠PGF=∠ABM+∠ACM=180°，
∴E，F，G三點共線．

點評：本題考查了圓內接四邊形性質，相似三角形的性質和判定的應用，關鍵是能靈活地運用相似三角形的性質和判定進行推理，此題比較好，但是難度偏大，注意：相似三角形的對應邊成比例；反之：有兩邊對應成比例，且夾角相等，兩三角形才相似．