【題目】如圖,拋物線y=﹣ x2﹣ x+ 與x軸交于A,B兩點(A點在B點的左側),與y軸交于點C,已知點D(0,﹣ ).
(1)求直線AC的解析式;
(2)如圖1,P為直線AC上方拋物線上的一動點,當△PBD面積最大時,過P作PQ⊥x軸于點Q,M為拋物線對稱軸上的一動點,過M作y軸的垂線,垂足為點N,連接PM,NQ,求PM+MN+NQ的最小值;
(3)在(2)問的條件下,將得到的△PBQ沿PB翻折得到△PBQ′,將△BPQ′沿直線BD平移,記平移中的△PBQ′為△P′B′Q″,在平移過程中,設直線P′B′與x軸交于點E.則是否存在這樣的點E,使得△B′EQ″為等腰三角形?若存在,求此時OE的長.
【答案】
(1)解:∵拋物線y=﹣ x2﹣ x+ 與x軸交于A,B兩點(A點在B點的左側),與y軸交于點C,
∴A(﹣4,0),B(1,0),C(0, ),
設直線AC的解析式為y=kx+b,則有 ,
∴k= ,b= ,
∴直線AC的解析式為y= x+
(2)解:如圖1中,分別過D、B作x軸,y軸的平行線交于點K,連接PK.設P(m,﹣ m2﹣ m+ ).
S△PDB=S△PDK+S△PBK﹣S△DKB
= 1(﹣ m2﹣ m+ + )+ (1﹣m)﹣ 1
=﹣ (m+3)2+ ,
∵﹣ <0,
∴m=﹣3時,△PBD的面積最大,此時P(﹣3,
如圖2中,作Q關于y軸的對稱點Q′,將Q′向左平移 個單位得到Q″,連接PQ″交拋物線對稱軸于M,此時PM+MN+NQ最短.
易證四邊形MNQ′Q″是平行四邊形,
∴NQ=NQ′=Q″M,
∴PM+MN+NQ=PM+MQ″+MN=PQ″+MN,
∵Q″( ,0),
∴PQ″= = ,
∴PM+MN+NQ的最小值為 +
(3)解:如圖3中,
由(2)可知直線PB的解析式為y=﹣ x+ ,直線BD的解析式為y= x﹣ ,
易證∠PBQ=30°,∠DBO=60°,PB⊥BD.
①當點Q″與Q重合時,∵∠B′EQ=∠QB′E=30°,
∴EQ=B′Q″=4,
∴OE=QE+OQ=7.
②如圖4中,當B′E=B′Q″時作B′N⊥x軸于N.
∵B′E=B′Q″=4,∠B′EN=30°,
∴B′N= B′E=2,EN=2 ,
∴B′( ,﹣2),
∴OE=2 + = ﹣1.
③如圖5中,當EQ″=EB′時,作B′N⊥x軸于N.
易知EP′=EQ″=EB′= ,B′N= ,EN=2,
∴B′( ,﹣ ),
∴EO= .
④如圖6中,當B′E=B′Q″時,
易知B′E=B′Q″=4,
在Rt△BEB′中,BE=EB′÷cos30°= ,
∴OE=OB+BE= +1,
綜上所述,滿足條件的OE的值為7或 ﹣1或 或 +1.
【解析】(2)利用函數(shù)思想解決最值問題,設出未知數(shù),把△PDB分割成S△PDB=S△PDK+S△PBK﹣S△DKB,用m的代數(shù)式分別表示出三個三角形的面積,構建出函數(shù),配成頂點時,求出最值;幾條線段的和PM+MN+NQ最小值問題可利用對稱法,把線段和轉化為一條直線上的線段即可;(3)等腰三角形的分類,可就哪兩條邊是腰分類:B′E=B′Q;或點Q″與Q重合;或B′E=B′Q″或EQ″=EB′或B′E=B′Q″即可求出OE的長.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB,CD相交于點O,OE是∠COB的平分線,∠FOE=90°,若∠AOD=70°.
(1)求∠BOE的度數(shù);
(2)OF是∠AOC的平分線嗎?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在正方形ABCD中,F(xiàn)是CD邊上一點(不和C,D重合),過點D做DG⊥BF交BF延長線于點G.連接AG,交BD于點E,連接EF,交CD于點M.若DG=6,AG=7 ,則EF的長為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象與反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象相交于A,B兩點,與y軸交于點C,與x軸交于點D,點D的坐標為(﹣1,0),點A的橫坐標是1,tan∠CDO=2.過點B作BH⊥y軸交y軸于H,連接AH.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△ABH面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為傳播奧運知識,小剛就本班學生對奧運知識的了解程度進行了一次調查統(tǒng)計:A:熟悉,B:了解較多,C:一般了解.圖1和圖2是他采集數(shù)據(jù)后,繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中提供的信息解答以下問題:
(1)求該班共有多少名學生;
(2)在條形圖中,將表示“一般了解”的部分補充完整;
(3)在扇形統(tǒng)計圖中,計算出“了解較多”部分所對應的圓心角的度數(shù);
(4)如果全年級共1000名同學,請你估算全年級對奧運知識“了解較多”的學生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小文同學統(tǒng)計了他所在小區(qū)居民每天微信閱讀的時間,并繪制了直方圖.有以下說法:①小文同學一共統(tǒng)計了60人;②每天微信閱讀不足20分鐘的人數(shù)有8人;③每天微信閱讀30~40分鐘的人數(shù)最多;④每天微信閱讀0-10分鐘的人數(shù)最少.根據(jù)圖中信息,上述說法中正確的是( )
A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ③④
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