Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，3），與軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（3，0）.點(diǎn)、、都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，其中0＜＜4，連接DE、DF、EF，記△DEF的面積為S.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若=0，求S的最大值，并求此時(shí)的值；

（3）若=2，當(dāng)取不同數(shù)值時(shí)，S的值是否變化，如不變，求該定值；如變化，試用含的代數(shù)式表示S.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）當(dāng)t=2時(shí)，S的最大值為8；（3）當(dāng)取不同數(shù)值時(shí)，S的值永遠(yuǎn)為8，理由見解析

【解析】

（1）將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；

（2）先求出直線DF的解析式，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（t，﹣2t+3），用含t的代數(shù)式表示出EG的長，進(jìn)而可列出S關(guān)于t的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)論；

（3）用含n的代數(shù)式表示出DM、EN的長，然后根據(jù)，S=解答即可.

解：（1）將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

，解得，

二次函數(shù)的解析是為y=﹣x2+2x+3；

(2)E在拋物線上，E（t，﹣t2+2t+3），

設(shè)直線DF的解析式為y=kx+b，

將點(diǎn)D和點(diǎn)F的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求得直線DF的解析式為y=﹣2x+3，

設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（t，﹣2t+3），

EG=﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+3）=﹣t2+4t．

S=EG×4=﹣2t2+8t=-2(t-2)2+8,

當(dāng)t=2時(shí)，S的最大值為8，

此時(shí)t=2．

（3）當(dāng)取不同數(shù)值時(shí)，S的值不變，

∵點(diǎn)、、都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，

∴、、

DM=8n+8，EN=4n+8，S==（12n+16）+（4n+8）-2（8n+8）=8.

所以，當(dāng)取不同數(shù)值時(shí)，S的值永遠(yuǎn)為8.