Question

如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，與AB相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B（4，2）．
（1）求反比例函數(shù)y=

k

x

的關(guān)系式；
（2）求四邊形OAED的面積；
（3）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，將矩形折疊，使點(diǎn)O與點(diǎn)F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點(diǎn)H、G，若GH=

5 5

4

，求直線GH的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)求出D點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)y=

k

x

即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）中反比例函數(shù)的解析式求出E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)S_{四邊形OAED}=S_△OAB-S_△BDE即可得出結(jié)論；
（3）連接GF，先求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，再由圖形翻折變換的性質(zhì)得出OG=GF，根據(jù)勾股定理求出GF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出G點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)GH=

5 5

4

，求出H點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線GH的函數(shù)關(guān)系式即可．

解答：解：（1）∵B（4，2），點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，
∴D（2，1），
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）上，
∴k=2×1=2，
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y=

2

x

；

（2）∵反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=

2

x

，四邊形OABC是矩形，B（4，2），
∴E（4，

1

2

），
∴BE=2-

1

2

=

3

2

，
∵D（2，1），
∴S_{四邊形OAED}=S_△OAB-S_△BDE=

1

2

×4×2-

1

2

×

3

2

×2=4-

3

2

=

5

2

；

（3）設(shè)點(diǎn)F（a，2），H（b，0），
∵反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，
∴

2

a

=2，
解得a=1，
∴CF=1，
連接FG，設(shè)OG=t，則OG=FG=t，CG=2-t，
在Rt△CGF中，GF²=CF²+CG²，
即t²=（2-t）²+1²，
解得t=

5

4

，
∴OG=t=

5

4

，
∴G（0，

5

4

），
∵GH=

5 5

4

，
∴OG²+OH²=GH²，即（

5

4

）²+b²=（

5 5

4

）²，解得b=

5

2

或b=-

5

2

（舍去），
∴H（

5

2

，0）．
設(shè)直線GH的解析式為y=kx+c（k≠0），
∵G（0，

5

4

），H（

5

2

，0）．
∴

c= 5 4 5 2 k+c=0

，解得

k=- 1 2 c= 5 4

，
∴直線GH的解析式為y=-

1

2

x+

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，難度適中．