Question

【題目】若兩條拋物線的頂點(diǎn)相同，則稱它們?yōu)椤坝押脪佄锞�”，拋物線C1：y1=﹣2x2+4x+2與C2：y2=﹣x2+mx+n為“友好拋物線”．

（1）求拋物線C2的解析式．
（2）點(diǎn)A是拋物線C2上在第一象限的動點(diǎn)，過A作AQ⊥x軸，Q為垂足，求AQ+OQ的最大值．
（3）設(shè)拋物線C2的頂點(diǎn)為C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，4），問在C2的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使線段MB繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MB′，且點(diǎn)B′恰好落在拋物線C2上？若存在求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，不存在說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4，

∴拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）．

∵拋物線C1與C2頂點(diǎn)相同，

∴ =1，﹣1+m+n=4．

解得：m=2，n=3．

∴拋物線C2的解析式為y2=﹣x2+2x+3

（2）

解：如圖1所示：

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，﹣a2+2a+3）．

∵AQ=﹣a2+2a+3，OQ=a，

∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=﹣（a﹣ ）2+ ．

∴當(dāng)a= 時，AQ+OQ有最大值，最大值為

（3）

解：如圖2所示；連接BC，過點(diǎn)B′作B′D⊥CM，垂足為D．

∵B（﹣1，4），C（1，4），拋物線的對稱軸為x=1，

∴BC⊥CM，BC=2．

∵∠BMB′=90°，

∴∠BMC+∠B′MD=90°．

∵B′D⊥MC，

∴∠MB′D+∠B′MD=90°．

∴∠MB′D=∠BMC．

在△BCM和△MDB′中， ，

∴△BCM≌△MDB′．

∴BC=MD，CM=B′D．

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，a）．則B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2．

∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（a﹣3，a﹣2）．

∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2．

整理得：a2﹣7a+10=0．

解得a=2，或a=5．

當(dāng)a=2時，M的坐標(biāo)為（1，2），

當(dāng)a=5時，M的坐標(biāo)為（1，5）．

綜上所述當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）或（1，5）時，B′恰好落在拋物線C2上

【解析】（1）先求得y1頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后依據(jù)兩個拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)相同可求得m、n的值；（2）設(shè)A（a，﹣a2+2a+3）．則OQ=x，AQ=﹣a2+2a+3，然后得到OQ+AQ與a的函數(shù)關(guān)系式，最后依據(jù)配方法可求得OQ+AQ的最值；（3）連接BC，過點(diǎn)B′作B′D⊥CM，垂足為D．接下來證明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的性質(zhì)得到BC=MD，CM=B′D，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，a）．則用含a的式子可表示出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，將點(diǎn)B′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a的值，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．