Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)G在直徑DF的延長(zhǎng)線上，∠D＝∠G＝30°．

（1）判斷CG與圓O的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若CD=6，求線段GF的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）CG是圓O的切線，證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠DCG=180-∠D-∠G=120，再計(jì)算出∠GCO的度數(shù)可得OC⊥CG，進(jìn)而得到CG是⊙O的切線；

（2）設(shè)EO=x，則CO=2x，再利用勾股定理計(jì)算出EO的長(zhǎng)，進(jìn)而得到CO的長(zhǎng)，然后再計(jì)算出GF的長(zhǎng)即可．

解：

（1）證明：連接OC．

∵OC＝OD，∠D＝30，

∴∠OCD＝∠D＝30，

∵∠G＝30，

∴∠DCG＝180﹣∠D﹣∠G＝120，

∴∠GCO＝∠DCG﹣∠OCD＝90，

∴OC⊥CG．

又∵OC是⊙O的半徑．

∴CG是⊙O的切線．

（2）∵∠D＝∠G＝30，

∴CG＝CD，

∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，

∴CE＝CD＝3．

∵在Rt△OCE中，∠CEO＝90，∠OCE＝30，

∴EO＝CO，，

設(shè)EO＝x，則CO＝2x．

∴（2x）2＝x2+32．

解得x＝（舍負(fù)值）．

∴CO＝．

∴FO＝．

在△OCG中，

∵∠OCG＝90，∠G＝30，

∴GO＝2CO＝．

∴GF＝GO﹣FO＝．