Question

【題目】已知拋物線y=x2﹣2x+a（a＜0）與y軸相交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為M．直線y=x﹣a分別與x軸，y軸相交于B，C兩點(diǎn)，并且與直線AM相交于點(diǎn)N．

（1）試用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)M與N的坐標(biāo)；

（2）如圖，將△NAC沿y軸翻折，若點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N′恰好落在拋物線上，AN′與x軸交于點(diǎn)D，連接CD，求a的值和四邊形ADCN的面積；

（3）在拋物線y=x2﹣2x+a（a＜0）上是否存在一點(diǎn)P，使得以P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）M（1，a﹣1），N（a，﹣a）；（2）a=, S四邊形ADCN;(3)詳見(jiàn)解析.

【解析】分析：(1)、已知了拋物線的解析式，不難用公式法求出M的坐標(biāo)為（1，a-1）．由于拋物線過(guò)A點(diǎn)，因此A的坐標(biāo)是（0，a）．根據(jù)A，M的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可得出直線AM的解析式．聯(lián)立方程組即可求出N的坐標(biāo)為；(2)、根據(jù)折疊的性質(zhì)不難得出N與N′正好關(guān)于y軸對(duì)稱，得出N′的坐標(biāo)．由于N′在拋物線上，因此將N′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可得出a的值．也就能確定N，C的坐標(biāo)．求四邊形ADCN的面積，可分成△ANC和△ADC兩部分來(lái)求．已經(jīng)求得了A，C，N的坐標(biāo)，可求出AC的長(zhǎng)以及N，D到y軸的距離．也就能求出△ANC和△ADC的面積，進(jìn)而可求出四邊形ADCN的面積；(3)、本題可分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)P在y軸左側(cè)時(shí)，如果使以P，N，A，C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，那么P需要滿足的條件是PN平行且相等于AC，也就是說(shuō)，如果N點(diǎn)向上平移AC個(gè)單位即-2a后得到的點(diǎn)就是P點(diǎn)．然后將此時(shí)P的坐標(biāo)代入拋物線中，如果沒(méi)有解說(shuō)明不存在這樣的點(diǎn)P，如果能求出a的值，那么即可求出此時(shí)P的坐標(biāo)．②當(dāng)P在y軸右側(cè)時(shí)，P需要滿足的條件是PN與AC應(yīng)互相平分（平行四邊形的對(duì)角線互相平分），那么NP必過(guò)原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．那么可得出此時(shí)P的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式中按①的方法求解即可．

詳解：解：（1）M（1，a﹣1），N（a，﹣a）；

（2）∵由題意得點(diǎn)N與點(diǎn)N′關(guān)于y軸對(duì)稱，∴N′（﹣a，﹣a）．

將N′的坐標(biāo)代入y=x2﹣2x+a得：﹣a=a2+a+a，

∴a1=0（不合題意，舍去），．∴N（﹣3， ），

∴點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為3． ∵A（0，﹣），N′（3， ），

∴直線AN′的解析式為，它與x軸的交點(diǎn)為D（） ∴點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為．

∴S四邊形ADCN=S△ACN+S△ACD=；

（3）存在，理由如下：

①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，若ACPN是平行四邊形，則PNAC，

則把N向上平移﹣2a個(gè)單位得到P，坐標(biāo)為（a，﹣a），代入拋物線的解析式，

得：﹣a=a2﹣a+a， 解得a1=0（不舍題意，舍去），a2=﹣，

則P（﹣， ）；

②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)，若APCN是平行四邊形，則AC與PN互相平分，

則OA=OC，OP=ON． 則P與N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 則P（﹣a， a）；

將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得： a=a2+a+a， 解得a1=0（不合題意，舍去），a2=﹣，

則P（，﹣）．

故存在這樣的點(diǎn)P（﹣， ）或P（，﹣），能使得以P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．