Question

如圖，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將
△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連接EF．
（1）求證：∠EAF=45°；
（2）求證：EF=DE；
（3）求證：BE²+DC²=DE²．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠FAD=90°，然后根據(jù)∠FAE=90°-∠DAE代入數(shù)據(jù)計算即可得解；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得△ADC和△AFB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=AF，然后利用“邊角邊”證明△AED和△AEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=DE；
（3）求出∠FBE=90°，再利用勾股定理列式整理即可得證．

解答：證明：（1）∵△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AFB，
∴∠FAD=90°，
又∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=90°-∠DAE=45°；

（2）∵△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AFB，
∴△ADC≌△AFB，
∴AD=AF，
在△AED和△AEF中，

AD=AF ∠DAE=∠FAE=45° AE=AE

，
∴△AED≌△AEF（SAS），
∴EF=DE；

（3）在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
又∵△ADC≌△AFB，
∴∠ACB=∠ABF，CD=BF，
∴∠ABC+∠ABF=90°，
即∠FBE=90°，
在Rt△FBE中，BE²+BF²=FE²，
∴BE²+DC²=DE²．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖，理清圖中各角度和邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．