Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），直線y=﹣ x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，連接AC，頂點(diǎn)為D的拋物線y=ax2+bx+c過(guò)A、B、C三點(diǎn)．

（1）請(qǐng)直接寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸DE交線段BC于點(diǎn)E，P是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段BC于點(diǎn)F，若四邊形DEFP為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)M是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，交AC于點(diǎn)N，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)t（秒）為何值時(shí)，存在△QMN為等腰直角三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=0代入y=﹣ x+3

∴y=3，

∴C（0，3），

令y=0代入y=﹣ x+3

∴x=4，

∴B（4，0），

設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+2）（x﹣4），

把C（0，3）代入y=a（x+2）（x﹣4），

∴a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣ （x+2）（x﹣4）=﹣ x2+ x+3，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1， ）

（2）

解：

當(dāng)DP∥BC時(shí)，

此時(shí)四邊形DEFP是平行四邊形，

設(shè)直線DP的解析式為y=mx+n，

∵直線BC的解析式為：y=﹣ x+3，

∴m=﹣ ，

∴y=﹣ x+n，

把D（1， ）代入y=﹣ x+n，

∴n= ，

∴直線DP的解析式為y=﹣ x+ ，

∴聯(lián)立 ，

解得：x=3或x=1（舍去），

∴把x=3代入y=﹣ x+ ，

y= ，

∴P的坐標(biāo)為（3， ）

（3）

解：由題意可知：0≤t≤6，

設(shè)直線AC的解析式為：y=m1x+n1，

把A（﹣2，0）和C（0，3）代入y=m1x+n1，

得： ，

∴解得 ，

∴直線AC的解析式為：y= x+3，

由題意知：QB=t，

如圖1，當(dāng)∠NMQ=90°，

∴OQ=4﹣t，

令x=4﹣t代入y=﹣ x+3，

∴y= t，

∴M（4﹣t， t），

∵M(jìn)N∥x軸，

∴N的縱坐標(biāo)為 t，

把y= t代入y= x+3，

∴x= t﹣2，

∴N（ t﹣2， t），

∴MN=（4﹣t）﹣（ t﹣2）=6﹣ t，

∵M(jìn)Q∥OC，

∴△BQM∽△BOC，

∴ ，

∴MQ= t，

當(dāng)MN=MQ時(shí)，

∴6﹣ t= t，

∴t= ，

此時(shí)QB= ，符合題意，

如圖2

當(dāng)∠QNM=90°時(shí)，

∵QB=t，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4﹣t，0）

∴令x=4﹣t代入y= x+3，

∴y=9﹣ t，

∴N（4﹣t，9﹣ t），

∵M(jìn)N∥x軸，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為9﹣ t，

∴令y=9﹣ t代入y=﹣ x+3，

∴x=2t﹣8，

∴M（2t﹣8，9﹣ t），

∴MN=（2t﹣8）﹣（4﹣t）=3t﹣12，

∵NQ∥OC，

∴△AQN∽△AOC，

∴ ，

∴NQ=9﹣ t，

當(dāng)NQ=MN時(shí)，

∴9﹣ t=3t﹣12，

∴t= ，

∴此時(shí)QB= ，符合題意

如圖3，

當(dāng)∠NQM=90°，

過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥MN于點(diǎn)E，

過(guò)點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，

設(shè)QE=a，

令y=a代入y=﹣ x+3，

∴x=4﹣ a，

∴M（4﹣ a，a），

令y=a代入y= x+3，

∴x= a﹣2，

∴N（ a﹣2，0），

∴MN=（4﹣ a）﹣（ a﹣2）=6﹣2a，

當(dāng)MN=2QE時(shí)，

∴6﹣2a=2a，

∴a= ，

∴MF=QE= ，

∵M(jìn)F∥OC，

∴△BMF∽△BCO，

∴ ，

∴BF=2，

∴QB=QF+BF= +2= ，

∴t= ，此情況符合題意，

綜上所述，當(dāng)△QMN為等腰直角三角形時(shí)，此時(shí)t= 或 或 ．

【解析】本題考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，相似三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)知識(shí)，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．（1）分別令y=0和x=0代入y=﹣ x+3即可求出B和C的坐標(biāo)，然后設(shè)拋物線的交點(diǎn)式為y=a（x+2）（x﹣4），最后把C的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出a的值和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若四邊形DEFP為平行四邊形時(shí)，則DP∥BC，設(shè)直線DP的解析式為y=mx+n，則m=﹣ ，求出直線DP的解析式后，聯(lián)立拋物線解析式和直線DP的解析式即可求出P的坐標(biāo)；（3）由題意可知，0≤t≤6，若△QMN為等腰直角三角形，則共有三種情況，①∠NMQ=90°；②∠MNQ=90°；③∠NQM=90°．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)，掌握一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．