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【題目】如圖,已知點A的坐標為(﹣2,0),直線y=﹣ x+3與x軸、y軸分別交于點B和點C,連接AC,頂點為D的拋物線y=ax2+bx+c過A、B、C三點.

(1)請直接寫出B、C兩點的坐標,拋物線的解析式及頂點D的坐標;
(2)設拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E,P是第一象限內拋物線上一點,過點P作x軸的垂線,交線段BC于點F,若四邊形DEFP為平行四邊形,求點P的坐標;
(3)設點M是線段BC上的一動點,過點M作MN∥AB,交AC于點N,點Q從點B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿線段BA向點A運動,運動時間為t(秒),當t(秒)為何值時,存在△QMN為等腰直角三角形?

【答案】
(1)

解:令x=0代入y=﹣ x+3

∴y=3,

∴C(0,3),

令y=0代入y=﹣ x+3

∴x=4,

∴B(4,0),

設拋物線的解析式為:y=a(x+2)(x﹣4),

把C(0,3)代入y=a(x+2)(x﹣4),

∴a=﹣ ,

∴拋物線的解析式為:y=﹣ (x+2)(x﹣4)=﹣ x2+ x+3,

∴頂點D的坐標為(1,


(2)

解:

當DP∥BC時,

此時四邊形DEFP是平行四邊形,

設直線DP的解析式為y=mx+n,

∵直線BC的解析式為:y=﹣ x+3,

∴m=﹣ ,

∴y=﹣ x+n,

把D(1, )代入y=﹣ x+n,

∴n= ,

∴直線DP的解析式為y=﹣ x+ ,

∴聯立 ,

解得:x=3或x=1(舍去),

∴把x=3代入y=﹣ x+ ,

y=

∴P的坐標為(3,


(3)

解:由題意可知:0≤t≤6,

設直線AC的解析式為:y=m1x+n1,

把A(﹣2,0)和C(0,3)代入y=m1x+n1

得: ,

∴解得 ,

∴直線AC的解析式為:y= x+3,

由題意知:QB=t,

如圖1,當∠NMQ=90°,

∴OQ=4﹣t,

令x=4﹣t代入y=﹣ x+3,

∴y= t,

∴M(4﹣t, t),

∵MN∥x軸,

∴N的縱坐標為 t,

把y= t代入y= x+3,

∴x= t﹣2,

∴N( t﹣2, t),

∴MN=(4﹣t)﹣( t﹣2)=6﹣ t,

∵MQ∥OC,

∴△BQM∽△BOC,

,

∴MQ= t,

當MN=MQ時,

∴6﹣ t= t,

∴t= ,

此時QB= ,符合題意,

如圖2

當∠QNM=90°時,

∵QB=t,

∴點Q的坐標為(4﹣t,0)

∴令x=4﹣t代入y= x+3,

∴y=9﹣ t,

∴N(4﹣t,9﹣ t),

∵MN∥x軸,

∴點M的縱坐標為9﹣ t,

∴令y=9﹣ t代入y=﹣ x+3,

∴x=2t﹣8,

∴M(2t﹣8,9﹣ t),

∴MN=(2t﹣8)﹣(4﹣t)=3t﹣12,

∵NQ∥OC,

∴△AQN∽△AOC,

∴NQ=9﹣ t,

當NQ=MN時,

∴9﹣ t=3t﹣12,

∴t=

∴此時QB= ,符合題意

如圖3,

當∠NQM=90°,

過點Q作QE⊥MN于點E,

過點M作MF⊥x軸于點F,

設QE=a,

令y=a代入y=﹣ x+3,

∴x=4﹣ a,

∴M(4﹣ a,a),

令y=a代入y= x+3,

∴x= a﹣2,

∴N( a﹣2,0),

∴MN=(4﹣ a)﹣( a﹣2)=6﹣2a,

當MN=2QE時,

∴6﹣2a=2a,

∴a= ,

∴MF=QE=

∵MF∥OC,

∴△BMF∽△BCO,

,

∴BF=2,

∴QB=QF+BF= +2=

∴t= ,此情況符合題意,

綜上所述,當△QMN為等腰直角三角形時,此時t=


【解析】本題考查二次函數的綜合問題,涉及待定系數法求一次函數和二次函數的解析式,相似三角形判定與性質,等腰直角三角形的性質知識,要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來,利用點的坐標的意義表示線段的長度,從而求出線段之間的關系.(1)分別令y=0和x=0代入y=﹣ x+3即可求出B和C的坐標,然后設拋物線的交點式為y=a(x+2)(x﹣4),最后把C的坐標代入拋物線解析式即可求出a的值和頂點D的坐標;(2)若四邊形DEFP為平行四邊形時,則DP∥BC,設直線DP的解析式為y=mx+n,則m=﹣ ,求出直線DP的解析式后,聯立拋物線解析式和直線DP的解析式即可求出P的坐標;(3)由題意可知,0≤t≤6,若△QMN為等腰直角三角形,則共有三種情況,①∠NMQ=90°;②∠MNQ=90°;③∠NQM=90°.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解拋物線與坐標軸的交點的相關知識,掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點.當b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點;當b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點;當b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點.

練習冊系列答案
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①a﹣b+c>0;
②3a+b=0;
③b2=4a(c﹣n);
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個不相等的實數根.
其中正確結論的個數是(  )

A.1
B.2
C.3
D.4

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(1)x-<2-.

(2)-2≤≤7

(3) ;

(4)

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(1)求拋物線的解析式;
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