Question

【題目】已知拋物線 y x2 mx 2m 4（m>0）．

（1）證明：該拋物線與 x 軸總有兩個不同的交點；

（2）設該拋物線與 x 軸的兩個交點分別為 A，B（點 A 在點 B 的右側(cè))，與 y 軸交于點 C，A，B，三點都在圓 P 上．

①若已知 B（-3，0），拋物線上存在一點 M 使△ABM 的面積為 15，求點 M 的坐標；

②試判斷：不論 m 取任何正數(shù)，圓 P 是否經(jīng)過 y 軸上某個定點？若是，求出該定點的坐標，若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①M或或或；②是，圓 P經(jīng)過 y 軸上的定點（0,1）．

【解析】

（1）令y=0，證明，即可解答；

（2）①將B（-3，0）代入y x2 mx 2m 4，求出拋物線解析式，求出點A的坐標，從而得到AB=5，根據(jù)△ABM 的面積為 15，列出方程解答即可；

②求出OA=2，OB=m+2，OC=2（m+2），判斷出∠OCB=∠OAF，求出tan∠OCB=，即可求出OF=1，即可得出結(jié)論．

解：（1）當y=0時，x2 mx 2m 4=0

∴，

∵m>0，

∴，

∴該拋物線與 x 軸總有兩個不同的交點；

（2）①將B（-3，0）代入y x2 mx 2m 4得：

，解得m=1，

∴y x2 x 6，

令y=0得：x2 x 6=0，解得：，

∴A（2,0），AB=5，

設M（n，n2 n 6）

則，即

解得：，

∴M或或或．

②是，圓 P經(jīng)過 y 軸上的定點（0,1），理由如下：

令y=0，

∴x2 mx 2m 4=0，即

，

∴或，

∴A（2,0），，

∴OA=2，OB=m+2，

令x=0，則y=-2(m+2)，

∴OC=2(m+2)，

如圖，∵點A，B，C在圓P上，

∴∠OCB=∠OAF，

在Rt△BOC中，，

在Rt△AOF中，，

∴OF=1，

∴點F（0,1）

∴圓 P經(jīng)過 y 軸上的定點（0,1）．