【題目】如圖,直線y=x+c與x軸交于點B(4,0),與y軸交于點C,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B,C,與x軸的另一個交點為點A.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是直線BC下方的拋物線上一動點,求四邊形ACPB的面積最大時點P的坐標(biāo);
(3)若點M是拋物線上一點,請直接寫出使∠MBC=∠ABC的點M的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2﹣x﹣3;(2)點P(2,﹣);(3)或.
【解析】
(1)將點B坐標(biāo)代入并解得:,故拋物線的表達(dá)式為:,將點B坐標(biāo)代入上式,即可求解;
(2)因為S四邊形ACPB=S△AOC+S△PCB,∵S△AOC是常數(shù),故四邊形面積最大,只需要S△PCB最大即可,S△PCB= ,即可求解;
(3)過點B作∠ABC的角平分線交y軸于點G,交拋物線于M,利用角平分線的性質(zhì)求出的坐標(biāo),進(jìn)而求直線的解析式,聯(lián)立解析式解方程組即可得到一個答案,利用角的對稱性求出在下方時關(guān)于的對稱點,求出直線的解析式,即可聯(lián)立解析式求解.
解:(1)將點B坐標(biāo)代入并解得:c=﹣3,
故拋物線的表達(dá)式為:,
將點B坐標(biāo)代入上式并解得:,
故拋物線的表達(dá)式為:y=x2﹣x﹣3;
(2)過點P作PH∥y軸交BC于點H,
設(shè)點,則點,
S四邊形ACPB=S△ABC+S△PCB,
∵S△ABC是常數(shù),故四邊形面積最大,只需要S△PCB最大即可,
S△PCB=×OB×PH=,
∵<0,∴S△PCB有最大值,此時,點P(2,﹣);
(3) 過點B作∠ABC的角平分線交y軸于點G,交拋物線于M,
因為:,所以:,
由角平分線的性質(zhì)得: 所以:,
解得:,所以:,
設(shè)為:,所以:
,解得: ,
所以為:,
所以: ,
解得: ,
所以:此時M
過點G作GK⊥BC交BC于點K,延長GK交BM于點H,使,
則,BC是GH的中垂線, OB=4,OC=3,則BC=5,
在Rt△GCK中,,,
則cos∠CGK=,sin∠CGK=,
則點,
因為點K是點GH的中點,
則點,
則直線BH的表達(dá)式為:,
所以:,
解得:,
所以:.
綜上:或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形中,,動點從點出發(fā),沿方向以每秒1個單位的速度運(yùn)動,連接,作點關(guān)于直線的對稱點,設(shè)點的運(yùn)動時間為.
(1)若,僅在邊運(yùn)動,求當(dāng),,三點在同一直線上時對應(yīng)的的值.
(2)在動點在射線上運(yùn)動的過程中,求使點到直線的距離等于3時對應(yīng)的的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校組織了一次七年級科技小制作比賽,有A、B、C、D四個班共提供了100件參賽作品,C班提供的參賽作品的獲獎率為50%,其他幾個班的參賽作品情況及獲獎情況繪制在下列圖①和圖②兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖中.
(1)B班參賽作品有多少件?
(2)請你將圖②的統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(3)通過計算說明,哪個班的獲獎率高?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線 y x2 mx 2m 4(m>0).
(1)證明:該拋物線與 x 軸總有兩個不同的交點;
(2)設(shè)該拋物線與 x 軸的兩個交點分別為 A,B(點 A 在點 B 的右側(cè)),與 y 軸交于點 C,A,B,三點都在圓 P 上.
①若已知 B(-3,0),拋物線上存在一點 M 使△ABM 的面積為 15,求點 M 的坐標(biāo);
②試判斷:不論 m 取任何正數(shù),圓 P 是否經(jīng)過 y 軸上某個定點?若是,求出該定點的坐標(biāo),若不是,說明理由.
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,按以下步驟作圖:①以點A為圓心,以任意長為半徑作弧,分別交AO,AB于點M,N;②以點O為圓心,以AM長為半徑作弧,交OC于點M';③以點M'為圓心,以MN長為半徑作弧,在∠COB內(nèi)部交前面的弧于點N';④過點N'作射線ON'交BC于點E.若AB=8,則線段OE的長為_______.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(﹣2,5),與x軸相交于B(﹣1,0),C(3,0)兩點.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點D在拋物線的對稱軸上,且位于x軸的上方,將△BCD沿直線BD翻折得到△BC′D,若點C′恰好落在拋物線的對稱軸上,求點C′和點D的坐標(biāo);
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【題目】已知拋物線:的項點為,交軸于、兩點(點在點左側(cè)),且.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)過點的直線交拋物線于點,交軸于點,若的面積被軸分為1: 4兩個部分,求直線的解析式;
(3)在(2)的情況下,將拋物線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線,點為拋物線上一點,當(dāng)點的橫坐標(biāo)為何值時,為直角三角形?
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【題目】根據(jù)下列要求,解答相關(guān)問題:
(1)請補(bǔ)全以下求不等式的解集的過程:
①構(gòu)造函數(shù),畫出圖象:根據(jù)不等式特征構(gòu)造二次函數(shù);拋物線的對稱軸為_________,開口向下,頂點坐標(biāo)為__________,與軸的交點是_________,用三點法畫出二次函數(shù)的圖象如圖1所示;
②數(shù)形結(jié)合,求得界點:當(dāng)時,求得方程的解為___________;
③借助圖象,寫出解集:由圖象可得不等式的解集為_________.
(2)利用(1)中求不等式解集的方法步驟,求不等式的解集.
①構(gòu)造函數(shù),畫出的圖象(在圖2中畫出);
②數(shù)形結(jié)合,求得界點:當(dāng)__________時,求得方程的解為__________;
③借助圖象,寫出解集.由圖2知,不等式的解集是__________.
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