Question

如圖，P為正方形ABCD的對(duì)稱中心，A（0，3），B（1，0），直線OP交AB于N，DC于M，點(diǎn)R從O出發(fā)沿OM方向以每秒

2

個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．求：
（1）C的坐標(biāo)為

 

；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ANO與△DMR相似？
（3）求以A、B、C、R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）過(guò)C作CE⊥x軸于E，易證得△ABO≌△BCE，可得AO=BE、OB=CE，由此求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）由于AB∥CD，得∠DMR=∠ANO，若△ANO與△DMR相似，則：
由于直線OP經(jīng)過(guò)正方形的對(duì)稱中線，因此OP平分∠AOB，即∠AOP=45°，由于AB∥CD，故∠ANO=∠DMO，若△ANO與△DMR相似，則有兩種情況：
①∠DRM=45°，此時(shí)DR∥y軸，即點(diǎn)R、D、H的橫坐標(biāo)都相同，由此求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；
②∠RDM=45°，此時(shí)R、P重合，因此R、H的橫坐標(biāo)相同，由此求出點(diǎn)H的坐標(biāo)．
（3）此題應(yīng)分三種情況討論：
①CR∥AB，此時(shí)R、M重合，可求出直線CD的解析式，聯(lián)立直線OP的解析式，即可求得M點(diǎn)（即R）的坐標(biāo)，進(jìn)而得到H點(diǎn)坐標(biāo)和t的值，然后再將t代入①的函數(shù)解析式中即可得到S的值；
②AR∥BC，③BR∥AC，解法同上．

解答：解：（1）如圖，過(guò)C作CE⊥x軸于E．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠OAB=∠EBC（同角的余角相等）．
∴在△ABO與△BCE中，

∠AOB=∠BEC=90° ∠OAB=∠EBC AB=BC

，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴AO=BE=3，OB=CE=1，
∴C（4，1）．
故填：（4，1）；

（2）∵P是正方形的對(duì)稱中心，由A（0，3），C（4，1），
∴P（2，2）；
∴∠MOB=45°，
∴∠AON=45°，
∵點(diǎn)R從O出發(fā)沿OM方向以

2

個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
∴OR=

2

t，
∴∠DMR=∠ANO，
若△ANO與△DMR相似，則∠MDR=∠AON=45°或∠DRM=∠AON=45°，
①當(dāng)∠MDR=45°時(shí)，R、P重合，
∵R（2，2），
∴t=2；
②當(dāng)∠DRM=45°時(shí)，DR∥y軸，
∵D（3，4），
∴R（3，3），
∴t=3，
∴當(dāng)t=2或t=3時(shí)，△ANO與△DMR相似．

（3）若以A、B、C、R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，分三種情況：
①CR∥AB；此時(shí)R、M重合，
由C（4，1），D（3，4），可求得直線CD：y=-3x+13；
當(dāng)x=y時(shí)，-3x+13=x，解得x=

13

4

；
即M（即R）點(diǎn)橫坐標(biāo)為

13

4

，H（

13

4

，0）；
故t=

13

4

；
同理可求得：
②AR∥BC時(shí)，t=

9

2

；
③BR∥AC時(shí)，t=

1

3

．
綜上所述，當(dāng)CR∥AB時(shí)，t=

13

4

，
當(dāng)AR∥BC時(shí)，t=

9

2

，
當(dāng)BR∥AC時(shí)，t=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)，梯形的判定等知識(shí)，同時(shí)還考查了分類討論思想在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用，難度較大．