Question

如圖，正方形ABCD邊長為4，點E在邊AB上（點E與點A、B不重合），過點A作AF⊥DE，垂足為G，AF與邊BC相交于點F．
（1）求證：AF=DE；
（2）連結(jié)DF、EF，設(shè)AE=x，三角形的面積為y，用含x的代數(shù)式表示y；
（3）如果△DEF的面積為

13

2

，求FG的長．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）先證得∠AED=∠AFB，很容易證明△ABF與△DAE全等，即可證得AF=DE．
（2）根據(jù)△DEF的面積=S_正方形-S_△ADE-S_△EBF-S_△DCF即可用含x的代數(shù)式表示y；
（3）根據(jù)三角形的面積求得AE，再根據(jù)勾股定理求得DE，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求得FG．

解答：解：（1）∵AF⊥DE，∠B=90°，
∴∠AED=∠AFB，
在△ABF與△DAE中，

∠AED=∠AFB ∠DAE=∠B AD=AB

，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF=DE；
（2）∵△ABF≌△DAE，
∴AE=BF=x，
∴BE=CF=4-x，
∴△DEF的面積=S_正方形-S_△ADE-S_△EBF-S_△DCF=4×4-

1

2

×4•x-

1

2

（4-x）•x-

1

2

×4•（4-x）=8-2x+

1

2

x²，
∴y=

1

2

x²-2x+8．
（3）∵△DEF的面積為

13

2

，
∴

1

2

x²-2x+8=

13

2

，
解得，x₁=3，x₂=1，
∴AE=3或AE=1，
∴DE=

AD2+AE2

=5或

17

，
∵S_△DEF=

1

2

DE•FG，
∴FG=

2S△DEF

DE

=

2× 13 2

5

=

13

5

或FG=

2× 13 2

17

=

13 17

17

．

點評：本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是知道兩線段之間的垂直關(guān)系．